Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa \(65m\). Boisko w drugiej szkole ma długość o \(4m\) większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o \(8m\) mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.

Odpowiedź:      

Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\).
Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania. \(s\) - szerokość pierwszego boiska \(d\) - długość pierwszego boiska \(s-8\) - szerokość drugiego boiska \(d+4\) - szerokość drugiego boiska \(p=65\) - długość przekątnej boiska Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań. W tym zadaniu możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa, bowiem długość i szerokość boiska stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a przekątna boiska byłaby wtedy przeciwprostokątną. Jeśli ułożymy dwa takie równania (dla pierwszego i drugiego boiska) to będziemy w stanie wyznaczyć długość i szerokość, zatem: \begin{cases} s^2+d^2=65^2 \           ,\ (s-8)^2+(d+4)^2=65^2 \end{cases}\begin{cases} s^2+d^2=65^2 \           ,\ s^2-16s+64+d^2+8d+16=65^2 \end{cases} Odejmując ten układ równań stronami pozbędziemy się zarówno \(s^2\) jaki i \(d^2\). Jeśli tego nie dostrzeżemy, to równie dobrze możemy podstawić po prawej stronie drugiego równania \(65^2=s^2+d^2\) i wtedy osiągniemy identyczny efekt, więc: $$-16s+64+8d+16=0 \           ,\ -16s+8d+80=0 \           ,\ 8d=16s-80 \           ,\ d=2s-10$$ Podstawiając teraz wyznaczoną wartość \(d=2s-10\) do pierwszego równania \(s^2+d^2=65^2\) otrzymamy: $$s^2+(2s-10)^2=65^2 \           ,\ s^2+4s^2-40s+100=4225 \           ,\ 5s^2-40s-4125=0 \quad\bigg/:5 \           ,\ s^2-8s-825=0$$ Ostatnie dzielenie przez \(5\) nie jest koniecznie, ale dzięki niemu będziemy mogli za chwilę pracować na nieco mniejszych liczbach. Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-825\) $$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-825)=64-(-3300)=64+3300=3364 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{3364}=58$$ $$s_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-58}{2\cdot1}=\frac{8-58}{2}=\frac{-50}{2}=-25 \           ,\ s_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+58}{2\cdot1}=\frac{8+58}{2}=\frac{66}{2}=33$$ Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników i wskazanie wymiarów obydwu boisk. Wartość ujemną obliczoną w poprzednim kroku oczywiście odrzucamy, bo szerokość nie może być wartością ujemną. To oznacza, że szerokość pierwszego boiska jest równa \(s=33\). Długość tego boiska obliczymy korzystając z wybranego równania z kroku drugiego, np.: $$d=2s-10 \           ,\ d=2\cdot33-10 \           ,\ d=66-10 \           ,\ d=56$$ Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\). Musimy jeszcze obliczyć wymiary drugiego boiska: Szerokość drugiego boiska: \(s-8=33-8=25\) Długość drugiego boiska: \(d+4=56+4=60\) Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).

Teoria:      
W trakcie opracowania