Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A \(A=(-1,7)\)
B \(B=(2,-3)\)
C \(C=(3,2)\)
D \(D=(5,3)\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
I sposób - wyznaczając równanie okręgu. Krok 1. Wyznaczenie równania okręgu. To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Podstawiając współrzędne \(S=(2,3)\) i promień \(r=5\) otrzymamy: $$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \           ,\ (x-2)^2+(y-3)^2=25$$ Krok 2. Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu. Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając \(A=(-1;7)\) otrzymamy: $$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \           ,\ (-3)^2+4^2=25 \           ,\ 9+16=25 \           ,\ 25=25 \           ,\ L=P$$ To oznacza, że punkt \(A\) leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów. II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków. Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków \(SA\), \(SB\), \(SC\) oraz \(SD\), a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem \(S\) stworzy odcinek o długości \(5\) (bo \(r=5\)). $$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \           ,\ |SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \           ,\ |SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \           ,\ |SA|=\sqrt{9+16} \           ,\ |SA|=\sqrt{25} \           ,\ |SA|=5$$

Teoria:      
W trakcie opracowania