W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: wyraz \(a_{1}=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_{3}=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).

Odpowiedź:      

\(a_{16}-a_{13}=9\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że: $$a_{2}=a_{1}+r \           ,\ a_{3}=a_{1}+2r$$ Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to: $$S_{3}=33 \           ,\ a_{1}+a_{2}+a_{3}=33 \           ,\ a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33 \           ,\ 3\cdot8+3r=33 \           ,\ 24+3r=33 \           ,\ 3r=9 \           ,\ r=3$$ Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\). $$a_{16}=a_{1}+15r \           ,\ a_{13}=a_{1}+12r$$ Zatem: $$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$

Teoria:      
W trakcie opracowania