Liczby: \(1, a+1, 9\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny tylko wtedy, gdy:

A \(a=2\)
B \(a=4\)
C \(a=4\) lub \(a=-4\)
D \(a=2\) lub \(a=-4\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równania z wykorzystaniem własności ciągów geometrycznych Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następujące równanie: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając do tego wzoru nasze trzy wyrazy z treści zadania otrzymamy: $$(a+1)^2=1\cdot9$$ Teraz korzystając po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że: $$a^2+2a+1=9 \           ,\ a^2+2a-8=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które teraz musimy rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta: Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-8\) $$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=4-(-32)=4+32=36 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$ $$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-6}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4 \           ,\ a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+6}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$ Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania. Wyszło nam, że ciąg jest geometryczny, gdy \(a=-4\) oraz gdy \(a=2\). Sprawdźmy zatem jak będą wyglądać nasze ciągi: Gdy \(a=-4\), to mamy ciąg \(1,-3,9\), czyli powstał nam ciąg geometryczny niemonotoniczny. Gdy \(a=2\), to mamy ciąg \(1,3,9\), czyli powstał nam ciąg geometryczny rosnący. Obydwa przypadki są poprawne, zatem prawidłowa będzie ostatnia odpowiedź.

Teoria:      
W trakcie opracowania