Zadanie 33 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2021 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Jedną z własności trapezów jest to, że przekątne trapezu dzielą go na trójkąty podobne \(ABS\) oraz \(CDS\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy do niej dość samodzielnie korzystając z własności kątów wierzchołkowych oraz naprzemianległych (udowodnimy wtedy, że wszystkie kąty trójkątów \(ABS\) oraz \(CDS\) mają jednakowe miary).


Z treści zadania wiemy też, że \(\frac{AS}{SC}=\frac{3}{2}\), czyli tym samym skala podobieństwa tych trójkątów jest równa właśnie \(k=\frac{3}{2}\). I tu aby się nie pomylić możemy przyjąć, że trójkąt \(DCS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) jest trójkątem podobnym i to właśnie boki tego trójkąta są \(\frac{3}{2}\) razy większe.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(CDS\).
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali \(k\) będzie miał \(k^2\) razy większe pole. Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABS}=k^2\cdot P_{CDS}$$ $$12=\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot P_{CDS}$$ $$12=\frac{9}{4}\cdot P_{CDS}$$ $$P_{CDS}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$$