Krok 1. Zależności między wielkościami.
Niech \(r\) będzie promieniem podstawy, \(l\) — tworzącą, \(h\) — wysokością. Z warunku zadania \(l=2-r\), przy czym \(0\lt r\lt 2\).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(h^2=l^2-r^2=(2-r)^2-r^2=4-4r\)
Stąd \(r=1-\frac{h^2}{4}\), a warunek \(r\gt 0\) daje \(h\in(0,2)\).
Krok 2. Objętość jako funkcja wysokości.
\(V(h)=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi\left(1-\frac{h^2}{4}\right)^2 h=\frac{\pi}{48}\,h\left(4-h^2\right)^2\)
Krok 3. Badanie funkcji.
\(V'(h)=\frac{\pi}{48}\left[\left(4-h^2\right)^2+h\cdot 2\left(4-h^2\right)\cdot(-2h)\right]\)
\(=\frac{\pi}{48}\left(4-h^2\right)\left[\left(4-h^2\right)-4h^2\right]=\frac{\pi}{48}\left(4-h^2\right)\left(4-5h^2\right)\)
W przedziale \((0,2)\) czynnik \(4-h^2\) jest dodatni, więc o znaku pochodnej decyduje \(4-5h^2\):
\(V'(h)=0\iff h=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(V'(h)\gt 0\) dla \(h\in\left(0,\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\), \(\;V'(h)\lt 0\) dla \(h\in\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},2\right)\)
Zatem objętość jest największa dla \(h=\frac{2\sqrt{5}}{5}\).
Krok 4. Największa objętość.
\(r=1-\frac{h^2}{4}=1-\frac{\frac{4}{5}}{4}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
\(V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{4}{5}\right)^2\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{16}{25}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{32\sqrt{5}\,\pi}{375}\)
Odpowiedź: \(h=\frac{2\sqrt{5}}{5}\), a największa objętość wynosi \(\frac{32\sqrt{5}\,\pi}{375}\).