Zadanie 18 Ekstrema i optymalizacja — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — zmienne. Niech $x$ to długość każdego z dwóch boków prostopadłych do ściany, a $y$ — bok równoległy do niej. Grodzimy trzy boki:

$$2x+y=200 \quad\Rightarrow\quad y=200-2x$$

Krok 2 — dziedzina: $0\lt x\lt 100$.

Krok 3 — funkcja celu:

$$P(x)=x(200-2x)=200x-2x^2$$

Krok 4 — pochodna:

$$P'(x)=200-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x=50$$

Znak zmienia się z $+$ na $-$, więc to maksimum.

Krok 5 — wymiary i pole:

$$x=50\ \text{m},\qquad y=100\ \text{m},\qquad P=5000\ \text{m}^2$$

Warto zauważyć: to nie kwadrat — przy ścianie optymalny prostokąt ma bok równoległy dwa razy dłuższy.

Odpowiedź: $50$ m na $100$ m, pole $5000$ m$^2$.