Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.
Korzystamy ze wzoru \(2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\):
\(4\sin 7x\cos 2x=2\left[\sin(9x)+\sin(5x)\right]\)
Równanie przyjmuje postać:
\(2\sin 9x+2\sin 5x=2\sin 9x-1\)
Krok 2. Równanie podstawowe.
\(2\sin 5x=-1\)
\(\sin 5x=-\frac{1}{2}\)
Krok 3. Rozwiązania ogólne.
\(5x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(5x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)
\(x=-\frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}\) lub \(x=\frac{7\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}\)
Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału \(\langle 0,\pi\rangle\).
Pierwsza rodzina (\(x=\frac{-\pi+12k\pi}{30}\)): \(k=1\Rightarrow x=\frac{11\pi}{30}\); \(\;k=2\Rightarrow x=\frac{23\pi}{30}\).
Druga rodzina (\(x=\frac{(7+12k)\pi}{30}\)): \(k=0\Rightarrow x=\frac{7\pi}{30}\); \(\;k=1\Rightarrow x=\frac{19\pi}{30}\).
Pozostałe wartości wychodzą poza przedział \(\langle 0,\pi\rangle\).
Odpowiedź: \(x=\frac{7\pi}{30}\), \(x=\frac{11\pi}{30}\), \(x=\frac{19\pi}{30}\), \(x=\frac{23\pi}{30}\)