Krok 1. Odległość wierzchołka od przekątnej.
Przekątne rombu przecinają się w punkcie \(O\) i są wzajemnie prostopadłe oraz połowią się. Odcinek \(AO\) jest więc połową przekątnej \(AC\), a jego długość to odległość punktu \(A\) od prostej \(l\):
\(|AO|=\frac{|2\cdot(-2)-6-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|-15|}{\sqrt{5}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\)
Zatem \(|AC|=6\sqrt{5}\).
Krok 2. Druga przekątna.
Pole rombu jest równe połowie iloczynu przekątnych:
\(\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|=90\)
\(|BD|=\frac{180}{6\sqrt{5}}=\frac{30}{\sqrt{5}}=6\sqrt{5}\)
(przekątne są równe, więc romb jest kwadratem)
Krok 3. Długość boku.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(AOB\):
\(a^2=\left(\frac{|AC|}{2}\right)^2+\left(\frac{|BD|}{2}\right)^2=\left(3\sqrt{5}\right)^2+\left(3\sqrt{5}\right)^2=45+45=90\)
\(a=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\)
Odpowiedź: bok rombu ma długość \(3\sqrt{10}\).