Krok 1. Podstawienie.
Niech \(t=\sin x\), gdzie \(t\in\langle-1,1\rangle\). Nierówność przyjmuje postać:
\((2t-3)(2t+1)\gt 0\)
Miejsca zerowe: \(t=\frac{3}{2}\) oraz \(t=-\frac{1}{2}\); współczynnik przy \(t^2\) jest dodatni, więc:
\(t\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\)
Krok 2. Uwzględnienie zakresu sinusa.
Ponieważ \(\sin x\le 1\lt\frac{3}{2}\), drugi przedział nie daje rozwiązań. Pozostaje:
\(\sin x\lt-\frac{1}{2}\)
Można też zauważyć od razu, że \(2\sin x-3\lt 0\) dla każdego \(x\), więc iloczyn jest dodatni tylko wtedy, gdy \(2\sin x+1\lt 0\).
Krok 3. Rozwiązanie w przedziale \((0,2\pi)\).
Sinus przyjmuje wartość \(-\frac{1}{2}\) dla \(x=\frac{7\pi}{6}\) oraz \(x=\frac{11\pi}{6}\), a między tymi argumentami jest mniejszy od \(-\frac{1}{2}\).
Odpowiedź: \(x\in\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right)\)