Zadanie 2 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Liczba wszystkich ustawień.

\(n\) osób można ustawić w kolejkę na \(n!\) sposobów.

Krok 2. Liczba ustawień, w których trójka stoi obok siebie.

Traktujemy Anię i jej dwóch znajomych jako jeden blok. Mamy wtedy \(n-2\) obiekty (blok oraz \(n-3\) pozostałe osoby), które ustawiamy na \((n-2)!\) sposobów. Wewnątrz bloku trzy osoby można ustawić na \(3!=6\) sposobów:

\((n-2)!\cdot 3!\)

Krok 3. Równanie.

\(n!=12\cdot(n-2)!\cdot 3!\)

\(n!=72\cdot(n-2)!\)

Ponieważ \(n!=n(n-1)\cdot(n-2)!\) oraz \((n-2)!\neq 0\):

\(n(n-1)=72\)

\(n^2-n-72=0\)

\(\Delta=1+288=289\), \(\;\sqrt{\Delta}=17\)

\(n=\frac{1+17}{2}=9\) (rozwiązanie \(n=-8\) odrzucamy)

Odpowiedź: \(n=9\)