Krok 1. Oznaczenia.
Niech \(H\) będzie wysokością graniastosłupa \(ABCA'B'C'\). Z wierzchołka \(A\) wychodzą przekątne ścian bocznych \(AB'\) oraz \(AC'\), obie o długości:
\(d=\sqrt{a^2+H^2}\)
Kąt między nimi oznaczmy przez \(\varphi\). Odcinek \(B'C'\) jest krawędzią górnej podstawy, więc \(|B'C'|=a\).
Krok 2. Twierdzenie cosinusów w trójkącie \(AB'C'\).
\(a^2=d^2+d^2-2d^2\cos\varphi\)
\(\cos\varphi=\frac{2d^2-a^2}{2d^2}\)
Krok 3. Wyznaczenie \(\cos\varphi\).
\(\cos^2\varphi=1-\left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2=1-\frac{11}{36}=\frac{25}{36}\), więc \(\cos\varphi=\frac{5}{6}\) lub \(\cos\varphi=-\frac{5}{6}\).
Ponieważ \(d^2=a^2+H^2\gt a^2\), mamy \(2d^2-a^2\gt 0\), czyli \(\cos\varphi\gt 0\). Zatem \(\cos\varphi=\frac{5}{6}\).
Krok 4. Wysokość graniastosłupa.
\(\frac{2d^2-a^2}{2d^2}=\frac{5}{6}\)
\(12d^2-6a^2=10d^2\)
\(d^2=3a^2\)
\(a^2+H^2=3a^2\Rightarrow H^2=2a^2\Rightarrow H=a\sqrt{2}\)
Krok 5. Pole powierzchni całkowitej.
\(P_c=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot a\cdot H=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a\cdot a\sqrt{2}\)
Odpowiedź: \(P_c=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a^2\sqrt{2}\)