Zadanie 11 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2024 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Punkty przecięcia prostej z parabolą.

Z równania prostej \(y=-3x-2\). Podstawiamy do równania paraboli:

\(-3x-2=x^2-2x-8\)

\(x^2+x-6=0\)

\(\Delta=1+24=25\), \(\;x_1=-3\), \(\;x_2=2\)

Dla \(x=-3\): \(y=-3\cdot(-3)-2=7\); dla \(x=2\): \(y=-8\).

Ponieważ \(A\) ma ujemną pierwszą współrzędną:

\(A=(-3,7)\), \(\;B=(2,-8)\)

Krok 2. Wyznaczenie punktu \(C\).

\(C=\left(c,\;-\frac{1}{2}c+1\right)\), gdzie \(c\gt 0\).

Odległość punktu \(C\) od prostej \(3x+y+2=0\):

\(\frac{\left|3c-\frac{1}{2}c+1+2\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{9\sqrt{10}}{5}\)

\(\frac{\left|\frac{5}{2}c+3\right|}{\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}{5}\)

\(\left|\frac{5}{2}c+3\right|=\frac{9\cdot 10}{5}=18\)

Stąd \(\frac{5}{2}c+3=18\) lub \(\frac{5}{2}c+3=-18\), czyli \(c=6\) lub \(c=-\frac{42}{5}\).

Warunek \(c\gt 0\) daje \(c=6\), zatem \(C=(6,-2)\).

Krok 3. Długość boku \(BC\).

\(|BC|=\sqrt{(6-2)^2+(-2+8)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)

Odpowiedź: \(|BC|=2\sqrt{13}\)