Zadanie 7 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2024 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wyznaczenie ilorazu \(q\).

Z warunku \(a_1+a_3=\frac{5}{2}a_2\), gdzie \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^2\):

\(a_1+a_1q^2=\frac{5}{2}a_1q\)

Ponieważ \(a_1\neq 0\) (w przeciwnym razie suma byłaby zerem), dzielimy przez \(a_1\):

\(1+q^2=\frac{5}{2}q\)

\(2q^2-5q+2=0\)

\(\Delta=25-16=9\), \(\;q_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}\), \(\;q_2=\frac{5+3}{4}=2\)

Krok 2. Warunek zbieżności.

Wyrazy o numerach nieparzystych tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^2\). Szereg jest zbieżny, gdy \(q^2\lt 1\), czyli \(|q|\lt 1\). Odrzucamy \(q=2\) i przyjmujemy:

\(q=\frac{1}{2}\)

Krok 3. Wyznaczenie \(a_1\).

\(a_1+a_3+a_5+\ldots=\frac{a_1}{1-q^2}=\frac{a_1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4a_1}{3}\)

\(\frac{4a_1}{3}=16\)

\(a_1=12\)

Sprawdzenie: \(a_2=6\), \(a_3=3\); \(\;a_1+a_3=15=\frac{5}{2}\cdot 6\) ✓

Odpowiedź: \(a_n=12\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)