Krok 1. Kąt naprzeciw boku \(BC\).
Z twierdzenia sinusów dla kąta \(\alpha=|\angle BAC|\), leżącego naprzeciw boku \(BC\):
\(\frac{|BC|}{\sin\alpha}=2R\)
\(\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Stąd \(\alpha=60^\circ\) albo \(\alpha=120^\circ\).
Krok 2. Wybór kąta.
Bok \(BC\) jest najdłuższy, więc leżący naprzeciw niego kąt \(\alpha\) jest największym kątem trójkąta. Sprawdzamy przypadek \(\alpha=60^\circ\): z twierdzenia cosinusów
\(48=|AC|^2+36-2\cdot 6\cdot|AC|\cdot\frac{1}{2}\), czyli \(|AC|^2-6|AC|-12=0\), skąd \(|AC|=3+\sqrt{21}\approx 7{,}58\)
Wtedy \(|AC|\gt|BC|=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\), co przeczy założeniu, że \(BC\) jest najdłuższy — ten przypadek odrzucamy.
Zatem \(\alpha=120^\circ\) oraz \(\cos\alpha=-\frac{1}{2}\).
Krok 3. Twierdzenie cosinusów.
\(|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot|AC|\cdot|AB|\cdot\cos\alpha\)
\(\left(4\sqrt{3}\right)^2=|AC|^2+6^2-2\cdot 6\cdot|AC|\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(48=|AC|^2+36+6|AC|\)
\(|AC|^2+6|AC|-12=0\)
\(\Delta=36+48=84\), \(\;\sqrt{\Delta}=2\sqrt{21}\)
\(|AC|=\frac{-6+2\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}-3\) (drugie rozwiązanie jest ujemne)
Sprawdzenie: \(\sqrt{21}-3\approx 1{,}58\lt 4\sqrt{3}\) ✓
Odpowiedź: \(|AC|=\sqrt{21}-3\)