Zadanie 4 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2023 — zadania z rozwiązaniami

Wyłączamy wspólny czynnik \(3n\) przed nawias:

\(3n^3+18n^2+15n=3n\left(n^2+6n+5\right)\)

Rozkładamy trójmian na czynniki (jego pierwiastki to \(-1\) i \(-5\)):

\(n^2+6n+5=(n+1)(n+5)\)

Zatem:

\(3n^3+18n^2+15n=3n(n+1)(n+5)\)

Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta — iloczyn \(n(n+1)\) jest podzielny przez \(2\), czyli \(n(n+1)=2k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\).

Stąd:

\(3n(n+1)(n+5)=3\cdot 2k\cdot(n+5)=6k(n+5)\)

Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(6\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(6\). \(\blacksquare\)