Zadanie 1 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2009 – arkusz z rozwiązaniami

a) Wartości funkcji.

\(f(-3)\): ponieważ \(-3\lt 2\), mamy \(f(-3)=2\cdot(-3)-3=-9\).

\(f(3)\): ponieważ \(2\le3\le4\), mamy \(f(3)=1\).

Miejsce zerowe: dla \(x\lt 2\) mamy \(2x-3=0\), czyli \(x=1{,}5\) (i rzeczywiście \(1{,}5\lt 2\)); dla \(2\le x\le4\) funkcja jest stała i równa 1, więc nie ma tam miejsc zerowych.

Tabela: \(x=-3\to f(x)=-9\); \(x=3\to f(x)=1\); \(x=1{,}5\to f(x)=0\).

b) Wykres. Dla \(x\lt 2\) — półprosta o równaniu \(y=2x-3\) (bez punktu \((2,1)\), który jednak należy do drugiej części wykresu); dla \(2\le x\le4\) — poziomy odcinek \(y=1\) od \((2,1)\) do \((4,1)\). Dziedziną funkcji jest \((-\infty,4\rangle\).

c) Nierówność \(f(x)\ge-6\).

Dla \(x\lt 2\): \(2x-3\ge-6\), czyli \(2x\ge-3\), skąd \(x\ge-\dfrac32\). Otrzymujemy \(-\dfrac32\le x\lt 2\).

Dla \(2\le x\le4\): \(f(x)=1\ge-6\) — warunek spełniony dla całego przedziału.

Łącznie \(x\in\left\langle-\tfrac32,\ 4\right\rangle\), a liczby całkowite w tym przedziale to

\(-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\).