Zadanie 2 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

a)

\(P(20)=\dfrac{20\cdot17}{2}=170\).

b) Warunek: \(P(n)=5n\), czyli

\(\dfrac{n(n-3)}{2}=5n\).

Ponieważ \(n\ge3>0\), dzielimy obie strony przez \(n\) i mnożymy przez 2:

\(n-3=10\), skąd \(n=13\).

Sprawdzenie: \(P(13)=\tfrac{13\cdot10}{2}=65=5\cdot13\). ✅

c) Stwierdzenie jest fałszywe. Wystarczy podać kontrprzykład: dla sześciokąta (\(n=6\), liczba parzysta)

\(P(6)=\dfrac{6\cdot3}{2}=9\) — liczba nieparzysta.

Uzasadnienie ogólne: dla \(n=2k\) mamy \(P(n)=k(2k-3)\). Czynnik \(2k-3\) jest zawsze nieparzysty, więc parzystość wyniku zależy od \(k\): dla \(k\) nieparzystego (np. \(k=3\), czyli \(n=6\)) liczba przekątnych jest nieparzysta.