Zadanie 10 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2006 Maj — arkusz z rozwiązaniami

a) Z warunków \(W(3)=0\) i \(W(-1)=0\):

\(W(3)=54+9a+3b+30=0\ \Rightarrow\ 9a+3b=-84\ \Rightarrow\ 3a+b=-28\),

\(W(-1)=-2+a-b+30=0\ \Rightarrow\ a-b=-28\).

Dodając równania stronami: \(4a=-56\), czyli \(a=-14\), a stąd \(b=a+28=14\).

Zatem \(W(x)=2x^3-14x^2+14x+30\).

b) Dla wielomianu \(2x^3-14x^2+14x+30\) iloczyn pierwiastków wynosi

\(x_1x_2x_3=-\dfrac{30}{2}=-15\).

Ponieważ \(x_1=3\), \(x_2=-1\), mamy \(3\cdot(-1)\cdot x_3=-15\), czyli \(x_3=5\).

Sprawdzenie: \(W(5)=250-350+70+30=0\). ✅

(Równoważnie: \(W(x)=2(x-3)(x+1)(x-5)\).)