Zadanie 9 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2005 – arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(x\) kwotę wpłaconą dla dziecka ośmioletniego, a przez \(y\) — dla dziesięcioletniego.

Dziecko ośmioletnie odbierze pieniądze po \(21-8=13\) latach, dziesięcioletnie po \(21-10=11\) latach.

Przy kapitalizacji rocznej i stopie 5% otrzymujemy układ równań:

\(\begin{cases}x+y=84100\\ x\cdot1{,}05^{13}=y\cdot1{,}05^{11}\end{cases}\)

Dzieląc drugie równanie przez \(1{,}05^{11}>0\):

\(x\cdot1{,}05^{2}=y\), czyli \(y=1{,}1025x\).

Podstawiamy do pierwszego równania:

\(x+1{,}1025x=84100\),

\(2{,}1025x=84100\), skąd \(x=\dfrac{84100}{2{,}1025}=40000\).

Zatem \(y=84100-40000=44100\) zł.

Sprawdzenie: \(44100\cdot1{,}05^{11}=40000\cdot1{,}05^{2}\cdot1{,}05^{11}=40000\cdot1{,}05^{13}\) — obie wypłaty są równe. ✅

Odpowiedź: dla dziecka ośmioletniego należy przeznaczyć 40 000 zł, a dla dziesięcioletniego 44 100 zł.