Zadanie 14 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2005 – arkusz z rozwiązaniami

Licznik. Składniki \(1,4,7,\ldots,3n-2\) tworzą ciąg arytmetyczny o \(a_1=1\), \(r=3\) i \(n\) wyrazach:

\(S_n=\dfrac{1+(3n-2)}{2}\cdot n=\dfrac{n(3n-1)}{2}\).

Mianownik. Składniki \(5,7,9,\ldots,2n+3\) tworzą ciąg arytmetyczny o \(b_1=5\), \(r'=2\) i również \(n\) wyrazach:

\(S'_n=\dfrac{5+(2n+3)}{2}\cdot n=n(n+4)\).

Granica.

\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\tfrac{n(3n-1)}{2}}{n(n+4)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n-1}{2(n+4)}=\dfrac32\).