Zadanie 14 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(a_n\) długość boku \(n\)-tego trójkąta, przy czym \(a_1=a\).

Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a_n\) wynosi \(\dfrac{a_n\sqrt3}{2}\), więc

\(a_{n+1}=\dfrac{a_n\sqrt3}{2}\) — ciąg boków jest geometryczny o ilorazie \(\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Pola trójkątów tworzą więc ciąg geometryczny o ilorazie

\(q=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2=\dfrac34\), przy czym \(P_1=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\).

Ponieważ \(|q|=\tfrac34\lt 1\), suma szeregu istnieje:

\(S=\dfrac{P_1}{1-q}=\dfrac{\tfrac{a^2\sqrt3}{4}}{\tfrac14}=a^2\sqrt3\).