📄 Treść zadania
W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) o dodatnich wyrazach trzeci wyraz jest równy \(6\), a piąty jest równy \(24\). Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
W treści zadania mamy podaną wartość trzeciego i piątego wyrazu. Na tej podstawie możemy obliczyć iloraz ciągu geometrycznego:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2$$
$$24=6\cdot q^2$$
$$q^2=4$$
$$q=2 \quad\lor\quad q=-2$$
Ujemny iloraz musimy odrzucić, a to dlatego że nasz ciąg geometryczny zawiera same dodatnie wyrazy. Przy \(q=-2\) ciąg byłby niemonotoniczny, czyli raz mielibyśmy wyrazy dodatnie, a raz ujemne.
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając iloraz \(q\) i znając wartość np. trzeciego wyrazu, możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
$$6=a_{1}\cdot2^2$$
$$6=a_{1}\cdot4$$
$$a_{1}=1,5$$