Zadanie 8 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Upraszczamy wzór, rozpatrując znak \(\sin x\).

• Dla \(x\in(0,\pi)\): \(\sin x>0\), więc \(|\sin x|=\sin x\) i

\(f(x)=\dfrac{\sin^2x-\sin x}{\sin x}=\sin x-1\).

• Dla \(x\in(\pi,2\pi)\): \(\sin x<0\), więc \(|\sin x|=-\sin x\) i

\(f(x)=\dfrac{\sin^2x+\sin x}{\sin x}=\sin x+1\).

a) Wykresem jest więc łuk sinusoidy przesuniętej o \(1\) w dół na przedziale \((0,\pi)\) (wartości od \(-1\) do \(0\)) oraz łuk sinusoidy przesuniętej o \(1\) w górę na przedziale \((\pi,2\pi)\) (wartości od \(0\) do \(1\)). Punkty \(x=0,\ \pi,\ 2\pi\) są wyłączone z dziedziny.

b) Miejsca zerowe:

• na \((0,\pi)\): \(\sin x-1=0\), czyli \(\sin x=1\), skąd \(x=\dfrac{\pi}{2}\),

• na \((\pi,2\pi)\): \(\sin x+1=0\), czyli \(\sin x=-1\), skąd \(x=\dfrac{3\pi}{2}\).