Zadanie 10 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2009 – arkusz z rozwiązaniami

Niech \(n\) oznacza liczbę kul czarnych; wtedy kul białych jest \(3n\), a wszystkich \(4n\) (gdzie \(n\ge1\)).

Losujemy jednocześnie dwie kule, więc \(|\Omega|=\dbinom{4n}{2}=\dfrac{4n(4n-1)}{2}\).

Kule różnych kolorów można wybrać na \(3n\cdot n=3n^2\) sposobów, zatem

\(P=\dfrac{3n^2}{\frac{4n(4n-1)}{2}}=\dfrac{6n^2}{4n(4n-1)}=\dfrac{3n}{2(4n-1)}\).

Warunek zadania:

\(\dfrac{3n}{8n-2}>\dfrac{9}{22}\).

Ponieważ \(8n-2>0\), mnożymy obie strony przez \(22(8n-2)\):

\(66n>9(8n-2)=72n-18\), czyli \(18>6n\), a więc \(n\lt 3\).

Stąd \(n\in\{1,2\}\), czyli w urnie jest \(4\) albo \(8\) kul.

Sprawdzenie: dla \(n=1\): \(P=\tfrac36=\tfrac12>\tfrac{9}{22}\); dla \(n=2\): \(P=\tfrac{6}{14}=\tfrac37\approx0{,}4286>\tfrac{9}{22}\approx0{,}409\). ✅