Krok 1. Oznaczenia. Niech cztery kolejne liczby całkowite to
$$n,\quad n+1,\quad n+2,\quad n+3,$$
gdzie największa jest $n+3$.
Krok 2. Zapis warunku.
$$n+3=n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}.$$
$$n+3=n^{2}+\left(n^{2}+2n+1\right)+\left(n^{2}+4n+4\right)=3n^{2}+6n+5.$$
Krok 3. Równanie kwadratowe.
$$3n^{2}+5n+2=0,\qquad \Delta=25-24=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.$$
$$n=\frac{-5\pm1}{6}\ \Longrightarrow\ n=-\frac{2}{3}\quad\text{lub}\quad n=-1.$$
Krok 4. Wybór rozwiązania całkowitego. Liczba $-\frac23$ nie jest całkowita, więc $n=-1$.
Sprawdzenie: liczby to $-1,\,0,\,1,\,2$; największa wynosi $2$, a suma kwadratów pozostałych to $(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}=2$ ✓
Odpowiedź: $-1,\ 0,\ 1,\ 2$