Zadanie 7 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2010 – arkusz z rozwiązaniami

Punkty \(B\) i \(C\) leżą na prostej \(y=x+1\), czyli \(x-y+1=0\).

Wysokość trójkąta. Odległość punktu \(A\) od tej prostej:

\(h=\dfrac{|-2-5+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\).

Długość boku \(BC\). Z warunku \(P=\tfrac12|BC|\cdot h=15\):

\(|BC|=\dfrac{30}{3\sqrt2}=\dfrac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\).

Wyznaczenie \(C\). Z równoramienności \(|AC|=|BC|=5\sqrt2\), a punkt \(C\) ma postać \(C=(t,t+1)\):

\(|AC|^2=(t+2)^2+(t+1-5)^2=(t+2)^2+(t-4)^2=50\),

\(2t^2-4t+20=50\), czyli \(t^2-2t-15=0\).

\(\Delta=4+60=64\), \(t=5\) lub \(t=-3\).

Odpowiedź: \(C=(5,6)\) albo \(C=(-3,-2)\).