Krok 1. Ile jest takich liczb. Każda liczba to permutacja pięciu różnych cyfr:

$$5!=120.$$

Krok 2. Kluczowa obserwacja o symetrii. Żadna cyfra nie jest wyróżniona, więc na każdej z pięciu pozycji każda z cyfr pojawia się tyle samo razy:

$$\frac{120}{5}=24\ \text{razy}.$$

Krok 3. Suma cyfr na jednej pozycji. Suma wszystkich cyfr wynosi

$$1+3+5+7+9=25,$$

więc suma cyfr stojących na ustalonej pozycji we wszystkich $120$ liczbach to

$$24\cdot 25=600.$$

Krok 4. Uwzględnienie wag pozycji. Pozycje mają wagi $10^{4},10^{3},10^{2},10^{1},10^{0}$, a wkład każdej z nich jest taki sam:

$$S=600\cdot\left(10^{4}+10^{3}+10^{2}+10+1\right)=600\cdot 11111.$$

Krok 5. Wynik.

$$S=6\,666\,600.$$

Odpowiedź: $6\,666\,600$