Krok 1. Rozkład lewej strony. Korzystamy ze wzoru $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ i z różnicy kwadratów:

$$\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika.

$$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)=0,$$

$$(\cos x-\sin x)\left(\cos x+\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0.$$

Krok 3. Pierwszy czynnik.

$$\cos x-\sin x=0\ \Longrightarrow\ \tan x=1\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi.$$

W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ otrzymujemy $x=\frac{\pi}{4}$.

Krok 4. Drugi czynnik. Sprowadzamy sumę do jednej funkcji:

$$\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

więc równanie przyjmuje postać

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \Longrightarrow\ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$$

Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $x+\frac{\pi}{4}\in\left\langle\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\rangle$. W tym przedziale $\sin\theta=\frac12$ zachodzi tylko dla $\theta=\frac{5\pi}{6}$ (rozwiązanie $\theta=\frac{\pi}{6}$ jest mniejsze od $\frac{\pi}{4}$, więc odpada).

$$x=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{10\pi-3\pi}{12}=\frac{7\pi}{12}.$$

Sprawdzenie: dla $x=\frac{7\pi}{12}=105^\circ$ mamy $\cos 210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ oraz $\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos105^\circ-\sin105^\circ\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$ — obie strony równe.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{7\pi}{12}$