Zadanie 10 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2012 Czerwiec — arkusz z rozwiązaniami

Każdy punkt prostej ma postać \(P=(x,8x+10)\). Wtedy

\(f(x)=|AP|^2+|BP|^2=(x-3)^2+(8x+12)^2+(x-11)^2+(8x+6)^2\).

Po rozwinięciu:

\((x-3)^2=x^2-6x+9\), \((8x+12)^2=64x^2+192x+144\),

\((x-11)^2=x^2-22x+121\), \((8x+6)^2=64x^2+96x+36\),

a po dodaniu \(f(x)=130x^2+260x+310\).

Jest to funkcja kwadratowa o dodatnim współczynniku przy \(x^2\), więc przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku:

\(x_0=-\dfrac{260}{2\cdot130}=-1\), skąd \(y_0=8\cdot(-1)+10=2\).

Odpowiedź: \(P=(-1,2)\); najmniejsza wartość sumy wynosi \(f(-1)=180\).