Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dobór cyfr.
Liczba ma $5$ cyfr (3 nieparzyste + 2 parzyste). Cyfry nieparzyste: $\{1,3,5,7,9\}$ — wybór $3$ z $5$: $\binom{5}{3}=10$. Cyfry parzyste: $\{0,2,4,6,8\}$ — wybór $2$ z $5$: $\binom{5}{2}=10$.
Krok 2. Ustawienia bez ograniczeń.
Wszystkie $5$ wybranych cyfr jest różnych, więc ustawień jest $5!=120$. Łącznie (na razie z zerem na początku):
$$10\cdot 10\cdot 120=12000.$$
Krok 3. Odjęcie liczb zaczynających się od zera.
Zero na pierwszym miejscu wymaga, by $0$ było jedną z wybranych parzystych: druga parzysta to $\binom{4}{1}=4$, nieparzyste $\binom{5}{3}=10$, a pozostałe $4$ cyfry ustawiamy na $4!=24$ sposobów:
$$10\cdot 4\cdot 24=960.$$
Krok 4. Wynik.
$$12000-960=11040.$$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.