Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$ (partie są niezależne). Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Schemat Bernoulliego.
Mamy $n=5$ niezależnych prób (partii), sukces = wygrana Tomka, $p=\frac{1}{4}$, porażka $q=1-p=\frac{3}{4}$. „Co najmniej cztery” oznacza dokładnie $4$ lub dokładnie $5$ sukcesów:
$$P=P(X=4)+P(X=5).$$
Krok 2. Dokładnie 4 sukcesy.
$$P(X=4)=\binom{5}{4}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{4}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{1}=5\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{1024}.$$
Krok 3. Dokładnie 5 sukcesów.
$$P(X=5)=\binom{5}{5}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{5}=\frac{1}{1024}.$$
Krok 4. Suma i skrócenie.
$$P=\frac{15}{1024}+\frac{1}{1024}=\frac{16}{1024}=\boxed{\frac{1}{64}}.$$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.