Rozwiązanie
-
Krok 1: Wyznaczenie przestrzeni zdarzeń elementarnych
Rzucamy kostką dwukrotnie. Każdy rzut daje wynik ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Łączna liczba możliwych par wyników wynosi:
$$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$$
Wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne (kostka symetryczna).
-
Krok 2: Wyznaczenie zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$
Szukamy par $(k_1, k_2)$, gdzie $k_1$ to wynik pierwszego rzutu, $k_2$ to wynik drugiego rzutu, takich że:
$$k_1 + k_2 = 11$$
Wypisujemy wszystkie możliwe pary:
- $(5, 6)$ — bo $5 + 6 = 11$ ✓
- $(6, 5)$ — bo $6 + 5 = 11$ ✓
Inne kombinacje (np. $(4, 7)$, $(7, 4)$) są niemożliwe, gdyż kostka ma oczka tylko od 1 do 6.
Zatem liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:
$$|A| = 2$$
-
Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia $A$
Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36}$$
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi
Odpowiedź D) $\dfrac{2}{36}$ — POPRAWNA. Istnieją dokładnie dwie pary wyników sumujące się do 11: $(5,6)$ oraz $(6,5)$, co przy 36 możliwych wynikach daje prawdopodobieństwo $\frac{2}{36}$.
Odpowiedź A) $\dfrac{1}{36}$ — BŁĘDNA. Prawdopodobieństwo $\frac{1}{36}$ odpowiadałoby tylko jednemu zdarzeniu sprzyjającemu, np. gdyby para $(5,6)$ i $(6,5)$ były traktowane jako identyczne (co jest błędem — kolejność rzutów ma znaczenie).
Odpowiedź B) $\dfrac{6}{36}$ — BŁĘDNA. Liczba 6 jako licznik sugerowałaby, że suma 11 jest osiągalna na 6 sposobów, co jest nieprawdą dla standardowej kostki sześciennej.
Odpowiedź C) $\dfrac{11}{36}$ — BŁĘDNA. Mylne utożsamienie szukanej sumy oczek (11) z liczbą zdarzeń sprzyjających — to klasyczny błąd rachunkowy.
Wynik końcowy:
$$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$
Poprawna odpowiedź to D).
