Rozwiązanie
Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra $0$ występuje dokładnie jeden raz.
Analiza struktury liczby trzycyfrowej
Liczba trzycyfrowa ma postać $\overline{abc}$, gdzie:
- $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ — cyfra setek (nie może być $0$),
- $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ — cyfra dziesiątek,
- $c \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ — cyfra jedności.
Warunki do spełnienia:
- liczba jest nieparzysta, więc $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$,
- cyfra $0$ występuje dokładnie raz, a ponieważ $a \neq 0$ i $c \neq 0$ (bo $c$ nieparzyste), to jedyna możliwość to $b = 0$.
-
Krok 1: Ustalenie pozycji cyfry $0$.
Cyfra $0$ nie może stać na pozycji setek ($a \neq 0$) ani na pozycji jedności ($c$ jest nieparzyste, więc $c \neq 0$). Zatem cyfra $0$ musi stać wyłącznie na pozycji dziesiątek, czyli $b = 0$.
-
Krok 2: Wyznaczenie zakresu cyfry $a$.
Cyfra setek: $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, co daje $9$ możliwości.
Dodatkowy warunek: $a \neq 0$ jest już spełniony. Ponieważ $b = 0$, nie ma ryzyka powtórzenia zera na innej pozycji — cyfra $0$ wystąpi dokładnie raz, o ile $a \neq 0$ (co jest zagwarantowane) oraz $c \neq 0$ (co wynika z nieparzystości $c$).
-
Krok 3: Wyznaczenie zakresu cyfry $c$.
Cyfra jedności musi być nieparzysta: $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$, co daje $5$ możliwości.
-
Krok 4: Obliczenie liczby szukanych liczb.
Liczba szukanych liczb to iloczyn liczby możliwości dla $a$ i $c$:
$$9 \times 5 = 45$$
-
Krok 5: Weryfikacja poprawności warunków.
Przykładowe liczby spełniające warunki: $101, 103, \ldots, 109$ (tu $a=1$, $b=0$, $c$ nieparzyste — $5$ liczb), analogicznie dla $a = 2, 3, \ldots, 9$. Łącznie: $9 \times 5 = 45$ liczb. Żadna z tych liczb nie zawiera dodatkowego zera (bo $a \geq 1$ i $c$ nieparzyste), więc warunek „dokładnie jedno zero" jest spełniony.
Analiza odpowiedzi
- A) $45$ — odpowiedź poprawna. Jak wykazano: $9 \times 5 = 45$.
- B) $50$ — błędna. Można by ją uzyskać np. licząc $10 \times 5$, tzn. dopuszczając $a = 0$, co jest niedozwolone dla liczb trzycyfrowych.
- C) $54$ — błędna. Wynikałaby z pominięcia warunku nieparzystości i liczenia $9 \times 6$ lub podobnego błędu.
- D) $81$ — błędna. Wynikałaby z nieuwzględnienia warunku, że cyfra $0$ ma wystąpić dokładnie raz (np. liczenie wszystkich nieparzystych trzycyfrowych z co najmniej jednym zerem).
Wynik końcowy
Liczba szukanych liczb wynosi:
$$\boxed{45}$$
Odpowiedź: A)
