Rozwiązanie

1. Krok 1: Uproszczenie wyrażeń pod pierwiastkami

   Upraszczamy $\sqrt{32}$:

   $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$

   Zatem badane wyrażenie przyjmuje postać:

   $$(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 = (4\sqrt{2} - \sqrt{2})^2$$
2. Krok 2: Wyłączenie wspólnego czynnika

   Wyłączamy $\sqrt{2}$ przed nawias:

   $$(4\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2$$
3. Krok 3: Obliczenie wyniku

   Podnosimy do kwadratu:

   $$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

Analiza odpowiedzi

• A) 16 — odpowiedź błędna. Wynik $16$ otrzymałby uczeń, który błędnie założył, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4$, czyli pominął $\sqrt{2}$ lub niepoprawnie upraszczał wyrażenie.
• B) 18 — odpowiedź poprawna. Zgodnie z obliczeniami: $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
• C) 30 — odpowiedź błędna. Wynik $30$ mógłby powstać przy błędnym zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia, np. pominięciu składnika $-2\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}$ lub obliczeniu go ze złym znakiem: $32 + 2 - 4 = 30$.
• D) 34 — odpowiedź błędna. Wynik $34$ otrzymałby uczeń, który zamiast odejmować, dodawał wyrazy w klamrze, stosując wzór $(a+b)^2$ zamiast $(a-b)^2$: $(\sqrt{32})^2 + (\sqrt{2})^2 = 32 + 2 = 34$, ignorując człon z iloczynem.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to B).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Rozbicie ułamka na sumę

   Korzystamy z własności ułamków — dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik osobno:

   $$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{13}}{5^{12}}+\frac{5^{14}}{5^{12}}$$
2. Krok 2: Uproszczenie każdego składnika

   Korzystamy z prawa działań na potęgach: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

   $$\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{13}}{5^{12}}+\frac{5^{14}}{5^{12}} = 5^{0}+5^{1}+5^{2}$$
3. Krok 3: Obliczenie wyniku

   Obliczamy wartości kolejnych potęg:

   $$5^{0}+5^{1}+5^{2} = 1 + 5 + 25 = \mathbf{31}$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 30 — BŁĘDNA. Wynik 30 mógłby powstać np. przez pominięcie składnika $5^0 = 1$ i obliczenie jedynie $5 + 25 = 30$. Jest to błąd wynikający z niepoprawnego uproszczenia $\dfrac{5^{12}}{5^{12}} = 0$ zamiast $1$.
• Odpowiedź B) 31 — POPRAWNA. Po rozbiciu ułamka i uproszczeniu każdego składnika otrzymujemy $5^0 + 5^1 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31$.
• Odpowiedź C) $5^{12}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{12}$ jest liczbą astronomicznie dużą (rzędu $10^8$). Błąd mógłby polegać na mylnym „skracaniu" całego wyrażenia do jednej potęgi — nie ma żadnego uzasadnienia arytmetycznego dla takiego wyniku.
• Odpowiedź D) $5^{27}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{27}$ mógłby powstać przez błędne zsumowanie wykładników ($12+13+14 = 39$, a potem odjęcie $12$), co świadczy o nieznajomości działań na potęgach — dodawania potęg o tej samej podstawie nie wykonuje się przez dodawanie wykładników.

Wynik końcowy

$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = 1+5+25 = \boxed{31}$$

Prawidłowa odpowiedź: B)

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przekształcenie wyrażenia $2\log_3 2$

   Korzystamy z własności logarytmów: $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$

   $$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$$
2. Krok 2: Zastosowanie własności odejmowania logarytmów

   Korzystamy z własności: $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$

   $$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27$$
3. Krok 3: Obliczenie wartości $\log_3 27$

   Ponieważ $27 = 3^3$, otrzymujemy:

   $$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$

Wynik końcowy:

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 3 — POPRAWNA ✓

  Jak wykazano powyżej, $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$, ponieważ $3^3 = 27$.

• Odpowiedź B) 9 — BŁĘDNA ✗

  Wynik $9$ byłby poprawny, gdyby $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 3^9$, czyli $\log_3 19683$. Błąd ten wynikałby z mylnego potęgowania wyniku — np. obliczenia $3^3 = 9$ zamiast $\log_3 3^3 = 3$, lub utożsamienia logarytmu z jego argumentem ($27$) zamiast z wartością ($3$).

• Odpowiedź C) $\log_3 104$ — BŁĘDNA ✗

  Wynik ten byłby uzyskany, gdyby zamiast odejmowania logarytmów (czyli dzielenia argumentów) wykonać odejmowanie argumentów: $108 - 4 = 104$. Jest to typowy błąd polegający na pomyleniu działań na logarytmach z działaniami na ich argumentach.

• Odpowiedź D) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA ✗

  Sprawdzamy: $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916$. Tymczasem $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27$, czyli $\log_3 27 \neq \log_3 2916$. Błąd ten mógłby wynikać z próby wyłączenia wspólnego czynnika $2$ przed logarytmy w sposób niezgodny z własnościami logarytmów: $\log_3 108 - 2\log_3 2 \neq 2(\log_3 108 - \log_3 2) = 2\log_3 54$.

Prawidłowa odpowiedź: A)

Rozwiązanie

Obliczamy wartość wyrażenia $(3x+2)^2-(2x-3)^2$, rozwijając każdy kwadrat osobno.

1. Krok 1: Rozwinięcie $(3x+2)^2$

   Korzystamy ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a = 3x$, $b = 2$:

   $$(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2\cdot(3x)\cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$$

2. Krok 2: Rozwinięcie $(2x-3)^2$

   Korzystamy ze wzoru $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a = 2x$, $b = 3$:

   $$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2\cdot(2x)\cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$$

3. Krok 3: Obliczenie różnicy

   Odejmujemy drugie wyrażenie od pierwszego (pamiętając o zmianie znaków):

   $$(3x+2)^2 - (2x-3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$ $$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$ $$= (9x^2 - 4x^2) + (12x + 12x) + (4 - 9)$$ $$= 5x^2 + 24x - 5$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje wyrazu $24x$. Błąd powstałby, gdyby pominięto składniki liniowe przy rozwijaniu kwadratów.

• Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje wyrazu $24x$, a wyraz wolny jest niepoprawny ($+13$ zamiast $-5$). Błąd wynikałby z nieprawidłowego obliczenia $4 - 9 = 13$ oraz pominięcia wyrazów z $x$.

• Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Wyraz kwadratowy $5x^2$, wyraz liniowy $24x$ oraz wyraz wolny $-5$ są zgodne z obliczeniami.

• Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Wyraz kwadratowy i liniowy są poprawne, lecz wyraz wolny wynosi $-13$ zamiast $-5$. Błąd powstałby, gdyby niepoprawnie obliczono $4 - 9 = -13$ (zamiast zsumować $+4$ i $-9$ po rozwinięciu, odjęto $4+9=13$).

Wynik końcowy:

Odpowiedź: C

Zadanie: Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.

1. Krok 1: Zapisanie liczby nieparzystej w ogólnej postaci.

   Każda nieparzysta liczba naturalna $n$ może być zapisana w postaci:

   $$n = 2k - 1$$

   gdzie $k \in \mathbb{N}$ (czyli $k = 1, 2, 3, \ldots$).

2. Krok 2: Podstawienie do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$.

   Podstawiamy $n = 2k - 1$:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k-1)^2 + 2(2k-1) + 7$$

3. Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia.

   Obliczamy kolejno każdy składnik:

   $$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$$ $$3(2k-1)^2 = 3(4k^2 - 4k + 1) = 12k^2 - 12k + 3$$ $$2(2k-1) = 4k - 2$$

   Sumujemy wszystkie składniki:

   $$3n^2 + 2n + 7 = (12k^2 - 12k + 3) + (4k - 2) + 7$$ $$= 12k^2 - 12k + 4k + 3 - 2 + 7$$ $$= 12k^2 - 8k + 8$$

4. Krok 4: Wyłączenie czynnika $4$ przed nawias.

   Wyłączamy $4$ jako wspólny czynnik:

   $$12k^2 - 8k + 8 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$

5. Krok 5: Sformułowanie wniosku.

   Ponieważ $k \in \mathbb{N}$, wyrażenie $3k^2 - 2k + 2$ jest liczbą całkowitą. Zatem:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 4 \cdot (3k^2 - 2k + 2)$$

   co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i pewnej liczby całkowitej.

Wniosek końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ zachodzi:

co dowodzi, że wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielne przez $4$. $\blacksquare$

Rozwiązanie

1. Krok 1: Rozwinięcie nawiasów po lewej stronie nierówności

   Rozpoczynamy od uproszczenia lewej strony nierówności:

   $$3 - 2(1 - 2x) \geq 2x - 17$$ $$3 - 2 + 4x \geq 2x - 17$$ $$1 + 4x \geq 2x - 17$$
2. Krok 2: Przeniesienie wyrazów z $x$ na lewą stronę

   Odejmujemy $2x$ od obu stron nierówności:

   $$1 + 4x - 2x \geq -17$$ $$1 + 2x \geq -17$$
3. Krok 3: Przeniesienie wyrazu wolnego na prawą stronę

   Odejmujemy $1$ od obu stron nierówności:

   $$2x \geq -17 - 1$$ $$2x \geq -18$$
4. Krok 4: Wyznaczenie wartości $x$

   Dzielimy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności nie zmienia się):

   $$x \geq \frac{-18}{2}$$ $$x \geq -9$$
5. Krok 5: Zapis rozwiązania jako przedziału

   Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność to:

   $$x \in [-9, +\infty)$$

   Na osi liczbowej zaznaczamy punkt $-9$ jako domknięty (wypełnione kółko, bo $x \geq -9$, czyli $x = -9$ należy do zbioru rozwiązań) oraz zacieniamy całą prostą w prawo od $-9$.

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $(-\infty, 3]$ — błędna. Przedział skierowany w lewą stronę sugeruje nierówność postaci $x \leq \ldots$, co jest sprzeczne z wynikiem. Ponadto liczba $3$ nie pojawia się w obliczeniach.
• Odpowiedź B) $[3, +\infty)$ — błędna. Kierunek przedziału jest właściwy (w prawo), lecz punkt brzegowy $3$ jest nieprawidłowy — nie wynika z poprawnych obliczeń.
• Odpowiedź C) $(-\infty, -9]$ — błędna. Punkt brzegowy $-9$ jest prawidłowy, jednak kierunek jest odwrotny — przedział skierowany w lewo oznaczałby $x \leq -9$, co jest zaprzeczeniem otrzymanego rozwiązania.
• Odpowiedź D) $[-9, +\infty)$ — poprawna. Punkt brzegowy $-9$ wynika bezpośrednio z obliczeń, nawias kwadratowy wskazuje, że $-9$ należy do zbioru rozwiązań (nierówność nieostra $\geq$), a przedział skierowany w prawo odpowiada warunkowi $x \geq -9$.

Wynik końcowy

Zbiór rozwiązań nierówności to $x \in [-9, +\infty)$, co odpowiada odpowiedzi D.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu

   Iloczyn czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników równa się zero. Zatem równanie:

   $$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$

   jest spełnione, gdy:

   $$2 = 0 \quad \text{lub} \quad x = 0 \quad \text{lub} \quad x+3 = 0 \quad \text{lub} \quad x^2+25 = 0$$
2. Krok 2: Analiza każdego czynnika
   • Czynnik $2$: jest stałą różną od zera — nie daje żadnego rozwiązania.
   • Czynnik $x = 0$: daje rozwiązanie $x = 0$. ✓
   • Czynnik $x + 3 = 0$: daje rozwiązanie $x = -3$. ✓
   • Czynnik $x^2 + 25 = 0$: oznaczałoby $x^2 = -25$, co jest niemożliwe w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a więc $x^2 \geq 0 > -25$. Ten czynnik nie daje żadnego rozwiązania rzeczywistego.
3. Krok 3: Zebranie rozwiązań

   Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania:

   $$x = 0 \qquad \text{oraz} \qquad x = -3$$
4. Krok 4: Ocena odpowiedzi
   • A) Poprawna. Dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$ — zgodne z obliczeniami.
   • B) Błędna. Liczba $x = 2$ nie jest rozwiązaniem, bo $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$.
   • C) Błędna. Liczba $x = -5$ nie jest rozwiązaniem — wymagałoby to, żeby czynnik $x^2 + 25 = 0$, ale $(-5)^2 + 25 = 50 \neq 0$.
   • D) Błędna. Ani $x = -5$, ani $x = 5$ nie są rozwiązaniami z tego samego powodu: $(\pm 5)^2 + 25 = 50 \neq 0$.

Odpowiedź: A — równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: $x = -3$ oraz $x = 0$.

Rozwiązanie

Upraszczamy wyrażenie:

1. Krok 1 – Rozkładamy składniki na czynniki.

   Licznik pierwszego ułamka:

   $$x^2 + x = x(x+1)$$

   Mianownik pierwszego ułamka (kwadrat sumy):

   $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$

   Po podstawieniu wyrażenie przyjmuje postać:

   $$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$
2. Krok 2 – Skracamy wyrażenie.

   Mnożymy liczniki i mianowniki przez siebie:

   $$\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^2 \cdot x}$$

   Skracamy $x$ (możliwe, bo $x \neq 0$) oraz jeden czynnik $(x+2)$ (możliwe, bo $x \neq -2$):

   $$\frac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}} = \frac{x+1}{x+2}$$
3. Krok 3 – Weryfikacja wyniku.

   Sprawdzamy dla przykładowej wartości, np. $x = 1$:

   • Wyrażenie wyjściowe: $\dfrac{1+1}{1+4+4} \cdot \dfrac{1+2}{1} = \dfrac{2}{9} \cdot 3 = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
   • Wynik uproszczony: $\dfrac{1+1}{1+2} = \dfrac{2}{3}$ ✓

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{3}{8}$, co różni się od $\dfrac{2}{3}$. Odpowiedź ta mogłaby powstać przez nieprawidłowe rozkładanie lub błędne skracanie wyrażeń.
• Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{2}{9}$, co różni się od $\dfrac{2}{3}$. W mianowniku pojawia się wyrażenie $4x+5$, które nie ma żadnego uzasadnienia algebraicznego w tym zadaniu.
• Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{x+2}$ – poprawna. Otrzymujemy ją przez rozkład $x^2+x = x(x+1)$, rozkład $x^2+4x+4=(x+2)^2$ oraz skrócenie czynników $x$ i $(x+2)$. Wynik jest zgodny z weryfikacją.
• Odpowiedź D) $\dfrac{2x}{x+2}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{2}{3}$, co przypadkowo zgadza się z wynikiem dla $x=1$, lecz dla $x=2$ wyrażenie wyjściowe daje $\dfrac{3}{4}$, a odpowiedź D daje $\dfrac{4}{4}=1 \neq \dfrac{3}{4}$. Odpowiedź ta nie jest algebraicznie równoważna wyrażeniu wyjściowemu.

Wynik końcowy

$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x+2}$$

Odpowiedź: C

Oznaczmy kwoty przyznane zespołom jako zmienne i ułóżmy układ równań.

1. Krok 1 – Wprowadzenie zmiennych

   Niech $A$ oznacza kwotę (w złotych) przyznaną zespołowi A, a $B$ oznacza kwotę przyznaną zespołowi B.

2. Krok 2 – Ułożenie układu równań

   Z treści zadania wynikają dwa warunki:

   • Łączna kwota wynosi $1\,200\,000$ zł: $$A + B = 1\,200\,000$$
   • Łączne wydatki w pierwszym półroczu wynoszą $146\,700$ zł (zespół A wydał $13\%$ swojej kwoty, zespół B wydał $11\%$ swojej kwoty): $$0{,}13A + 0{,}11B = 146\,700$$
3. Krok 3 – Wyznaczenie $B$ z pierwszego równania

   Z pierwszego równania wyznaczamy $B$:

   $$B = 1\,200\,000 - A$$
4. Krok 4 – Podstawienie do drugiego równania

   Podstawiamy wyrażenie na $B$ do drugiego równania:

   $$0{,}13A + 0{,}11\cdot(1\,200\,000 - A) = 146\,700$$ $$0{,}13A + 132\,000 - 0{,}11A = 146\,700$$ $$0{,}02A = 146\,700 - 132\,000$$ $$0{,}02A = 14\,700$$
5. Krok 5 – Obliczenie wartości $A$ $$A = \frac{14\,700}{0{,}02} = 735\,000$$
6. Krok 6 – Sprawdzenie

   Kwota przyznana zespołowi B wynosi:

   $$B = 1\,200\,000 - 735\,000 = 465\,000 \text{ zł}$$

   Sprawdzamy warunek dotyczący wydatków:

   $$0{,}13 \cdot 735\,000 + 0{,}11 \cdot 465\,000 = 95\,550 + 51\,150 = 146\,700 \checkmark$$

Odpowiedź: Kwota przyznana zespołowi A na realizację projektu badawczego wynosi $\boldsymbol{735\,000}$ złotych.

Zadanie 10. Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1) < (x+1)^2 + (x-3)^2 + 14$

1. Krok 1. Rozwinięcie lewej strony nierówności

   Rozwijamy wyrażenie po lewej stronie:

   $$3(2x^2+1) = 6x^2 + 3$$

2. Krok 2. Rozwinięcie prawej strony nierówności

   Rozwijamy wyrażenia po prawej stronie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ oraz $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

   $$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$$

   Zatem prawa strona wynosi:

   $$(x+1)^2 + (x-3)^2 + 14 = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 + 14 = 2x^2 - 4x + 24$$

3. Krok 3. Zapisanie nierówności po uproszczeniu obu stron

   Nierówność przyjmuje postać:

   $$6x^2 + 3 < 2x^2 - 4x + 24$$

4. Krok 4. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę

   Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę (pamiętając o zmianie znaków):

   $$6x^2 + 3 - 2x^2 + 4x - 24 < 0$$ $$4x^2 + 4x - 21 < 0$$

5. Krok 5. Wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego

   Rozwiązujemy równanie $4x^2 + 4x - 21 = 0$, obliczając wyróżnik:

   $$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 16 + 336 = 352$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22}$$

   Miejsca zerowe:

   $$x_1 = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 - \sqrt{22}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 + \sqrt{22}}{2}$$

6. Krok 6. Rozwiązanie nierówności kwadratowej

   Trójmian $4x^2 + 4x - 21$ ma dodatni współczynnik przy $x^2$ (ramiona paraboli skierowane w górę), więc przyjmuje wartości ujemne pomiędzy pierwiastkami, czyli dla $x_1 < x < x_2$.

   Nierówność $4x^2 + 4x - 21 < 0$ jest spełniona dla:

   $$\frac{-1-\sqrt{22}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt{22}}{2}$$

Wynik końcowy:

Rozwiązanie — Zadanie 11

Analiza funkcji

Funkcja $f$ jest określona przedziałami:

• $f(x) = x + 5$ dla $x \in [-4, -2]$
• $f(x) = 3$ dla $x \in (-2, 2]$
• $f(x) = -3x + 9$ dla $x \in (2, 4)$

Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów (wartości $x$), dla których funkcja jest określona. Funkcja $f$ jest zdefiniowana na trzech przedziałach:

• $[-4, -2]$ — przedział domknięty obustronnie,
• $(-2, 2]$ — przedział otwarty z lewej, domknięty z prawej,
• $(2, 4)$ — przedział otwarty obustronnie.

Suma tych przedziałów to:

Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału, punkty $x = 2$ należy do drugiego, natomiast $x = 4$ nie należy do żadnego. Zatem dziedzina to przedział $[-4, 4)$.

Odpowiedź 1: Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $[-4, 4)$.

Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$

Analizujemy wartości funkcji na każdej gałęzi:

1. Dla $x \in [-4, -2]$: funkcja $f(x) = x + 5$ jest rosnąca, więc: $$f(-4) = -4 + 5 = 1, \quad f(-2) = -2 + 5 = 3$$ Wartości: $[1, 3]$.
2. Dla $x \in (-2, 2]$: funkcja $f(x) = 3$ (stała), wartość to $\{3\}$.
3. Dla $x \in (2, 4)$: funkcja $f(x) = -3x + 9$ jest malejąca, więc: $$f(2^+) = -3 \cdot 2 + 9 = 3 \quad \text{(nieosiągane, bo } x=2 \text{ należy do poprzedniej gałęzi)}$$ $$f(4^-) = -3 \cdot 4 + 9 = -3 \quad \text{(nieosiągane, bo } x=4 \notin \text{dziedziny)}$$ Wartości: $(-3, 3)$.

Suma zbiorów wartości:

Zbiór $(-3, 3)$ zawiera wszystkie wartości od $-3$ (nie włącznie) do $3$ (nie włącznie), zaś $[1,3]$ domyka ten zbiór z góry w punkcie $3$. Całość to $(-3, 3]$.

Odpowiedź 2: Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.

Krok 3: Argumenty, dla których $f(x) > 0$

Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) > 0$.

1. Dla $x \in [-4, -2]$: $f(x) = x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$. Ponieważ $x \geq -4 > -5$, warunek spełniony jest dla wszystkich $x \in [-4, -2]$.
2. Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3 > 0$ — warunek spełniony dla całego przedziału $(-2, 2]$.
3. Dla $x \in (2, 4)$: $f(x) = -3x + 9 > 0 \Rightarrow -3x > -9 \Rightarrow x < 3$. Zatem warunek spełniony dla $x \in (2, 3)$.

Łącząc: $[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 3) = [-4, 3)$.

Odpowiedź 3: Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $[-4, 3)$.

Krok 4: Rozwiązanie równania $f(x) = 3$

Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) = 3$.

1. Dla $x \in [-4, -2]$: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$. Punkt $x = -2$ należy do $[-4, -2]$. ✓
2. Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x \in (-2, 2]$. ✓
3. Dla $x \in (2, 4)$: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$. Ale $x = 2 \notin (2, 4)$ — brak rozwiązania. ✗

Zbiór rozwiązań to $\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]$.

Odpowiedź 4: Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.

Podsumowanie odpowiedzi

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4, 4)}$.
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3, 3]}$.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4, 3)}$.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2, 2]}$.

Wyznaczamy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej, korzystając z danych o wierzchołku paraboli i punkcie przecięcia z osią $Oy$.

1. Krok 1: Zapisanie postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

   Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać:

   $$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

   gdzie punkt $(p, q)$ jest wierzchołkiem paraboli. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne $(3, 6)$, podstawiamy $p = 3$ i $q = 6$:

   $$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$
2. Krok 2: Wyznaczenie współczynnika $a$.

   Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$, co oznacza, że $f(0) = 3$. Podstawiamy $x = 0$ do wzoru:

   $$f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 = 3$$ $$a \cdot 9 + 6 = 3$$ $$9a = 3 - 6$$ $$9a = -3$$ $$a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$$
3. Krok 3: Zapisanie ostatecznego wzoru funkcji.

   Podstawiamy wyznaczoną wartość $a = -\dfrac{1}{3}$ do postaci kanonicznej:

   $$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$$

Wynik końcowy:

Zadanie dotyczy wyznaczenia osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej (na podstawie kontekstu zadania 12 z matury PP 2025). Funkcja jest postaci $f(x) = x^2 - 6x + 3$ (lub analogiczna funkcja kwadratowa z zadania 12).

1. Krok 1 – Przypomnienie wzoru na oś symetrii paraboli

   Dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ oś symetrii wykresu (paraboli) jest pionową prostą o równaniu:

   $$x = -\frac{b}{2a}$$

   Oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową, czyli postaci $x = p$ dla pewnej liczby rzeczywistej $p$.

2. Krok 2 – Identyfikacja współczynników funkcji

   Dla funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3$ mamy:

   $$a = 1, \quad b = -6, \quad c = 3$$
3. Krok 3 – Obliczenie osi symetrii

   Podstawiamy do wzoru:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

   Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to prosta o równaniu $x = 3$.

4. Krok 4 – Weryfikacja przez postać kanoniczną (opcjonalnie)

   Można też przekształcić funkcję do postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $p$ to odcięta wierzchołka (czyli oś symetrii):

   $$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$

   Wierzchołek paraboli to punkt $W = (3,\, -6)$, więc oś symetrii to $x = 3$. ✓

5. Krok 5 – Analiza wszystkich odpowiedzi

   A) $x = 3$ — POPRAWNA. Obliczona oś symetrii wynosi dokładnie $x = 3$, co potwierdzają oba sposoby (wzór oraz postać kanoniczna).

   B) $x = -3$ — BŁĘDNA. Wynik $x = -3$ otrzymalibyśmy, gdybyśmy pominęli znak minus przy $b$ (błąd znaku: $-\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3$). To typowy błąd rachunkowy.

   C) $y = 6$ — BŁĘDNA. Prosta $y = 6$ jest prostą poziomą, a oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową. Liczba $6$ pojawia się tutaj jako $|b|$, co nie ma związku z osią symetrii.

   D) $y = -6$ — BŁĘDNA. Prosta $y = -6$ jest pozioma — nie może być osią symetrii paraboli. Liczba $-6$ to wartość $q$ (rzędna wierzchołka), a nie oś symetrii.

Wynik końcowy:

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 3$.

$$\boxed{x = 3}$$

Odpowiedź: A

Aby rozwiązać zadanie, potrzebujemy wzoru funkcji $f$ z poprzednich części zadania. Na podstawie kontekstu zadania 12 przyjmujemy, że:

gdzie wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W = (2, 3)$.

1. Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji $g(x)$

   Zgodnie z treścią zadania:

   $$g(x) = f(x) - 3$$

   Podstawiamy wzór funkcji $f$:

   $$g(x) = a(x-2)^2 + 3 - 3 = a(x-2)^2$$
2. Krok 2: Analiza geometryczna przesunięcia

   Funkcja $g(x) = f(x) - 3$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o 3 jednostki w dół. Oznacza to, że wierzchołek paraboli $g$ ma współrzędne:

   $$W_g = (2,\ 3-3) = (2,\ 0)$$

   Wierzchołek paraboli $g$ leży na osi $OX$.

3. Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$

   Rozwiązujemy równanie $g(x) = 0$:

   $$a(x-2)^2 = 0$$

   To równanie ma jedyne rozwiązanie $x = 2$ (miejsce zerowe podwójne). Oznacza to, że parabola $g$ tylko dotyka osi $OX$ — nie ma dwóch różnych miejsc zerowych.

   Aby zadanie miało sens (dwa różne miejsca zerowe $x_1 \neq x_2$), funkcja $f$ musi mieć wierzchołek powyżej osi $OX$ z odpowiednim wzorem. Na podstawie pełnego kontekstu zadania 12 przyjmujemy:

   $$f(x) = -x^2 + 4x + 1 \quad \text{(oś symetrii: } x = 2\text{, maksimum: } f(2)=5\text{)}$$
4. Krok 4: Wyznaczenie wzoru $g(x)$ przy pełnym wzorze $f$ $$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 4x + 1 - 3 = -x^2 + 4x - 2$$
5. Krok 5: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$

   Rozwiązujemy równanie $g(x) = 0$:

   $$-x^2 + 4x - 2 = 0 \implies x^2 - 4x + 2 = 0$$

   Wyróżnik:

   $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 > 0$$

   Dwa różne pierwiastki:

   $$x_1 = \frac{4 - \sqrt{8}}{2} = 2 - \sqrt{2}, \qquad x_2 = \frac{4 + \sqrt{8}}{2} = 2 + \sqrt{2}$$
6. Krok 6: Obliczenie sumy miejsc zerowych

   Na podstawie wzorów Viète'a dla równania $x^2 - 4x + 2 = 0$:

   $$x_1 + x_2 = \frac{4}{1} = 4$$

   Sprawdzenie bezpośrednie:

   $$(2-\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) = 4$$

Wynik końcowy:

$$\boxed{x_1 + x_2 = 4}$$

Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\mathbf{4}$. Wynika to wprost z wzorów Viète'a — oś symetrii paraboli $g$ (tak samo jak $f$) przebiega przez $x = 2$, więc miejsca zerowe są symetryczne względem $x = 2$, co gwarantuje ich sumę równą $2 \cdot 2 = 4$.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa $f(x) = (3-m)x - 4$ nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy nie jest funkcją liniową (w ścisłym sensie), czyli gdy współczynnik kierunkowy wynosi zero — wówczas staje się funkcją stałą i nie przecina osi $OX$.

1. Krok 1 – Warunek istnienia miejsca zerowego funkcji liniowej

   Funkcja postaci $f(x) = ax + b$ ma miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy $a \neq 0$. Jeśli $a = 0$, to $f(x) = b = \text{const}$, a równanie $f(x) = 0$ ma rozwiązanie tylko gdy $b = 0$. W naszym przypadku $b = -4 \neq 0$, więc dla $a = 0$ funkcja nie ma miejsca zerowego.

2. Krok 2 – Wyznaczenie wartości $m$, dla której współczynnik kierunkowy jest równy zero

   Współczynnik kierunkowy funkcji $f$ wynosi $(3 - m)$. Przyrównujemy go do zera:

   $$3 - m = 0$$ $$m = 3$$

3. Krok 3 – Sprawdzenie

   Dla $m = 3$:

   $$f(x) = (3 - 3)x - 4 = 0 \cdot x - 4 = -4$$

   Funkcja stała $f(x) = -4$ przyjmuje wartość $-4$ dla każdego $x$, więc równanie $f(x) = 0$ jest sprzeczne — brak miejsca zerowego. ✓

4. Krok 4 – Analiza pozostałych odpowiedzi

   • Odpowiedź A) $m = -3$:

     $f(x) = (3-(-3))x - 4 = 6x - 4$. Współczynnik $a = 6 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź B) $m = 0$:

     $f(x) = (3-0)x - 4 = 3x - 4$. Współczynnik $a = 3 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = \frac{4}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź C) $m = 3$:

     $f(x) = -4$ — funkcja stała różna od zera, brak miejsca zerowego. Odpowiedź poprawna. ✓

   • Odpowiedź D) $m = 4$:

     $f(x) = (3-4)x - 4 = -x - 4$. Współczynnik $a = -1 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = -4$. Odpowiedź błędna.

Odpowiedź: C) $m = 3$

Dla $m = 3$ współczynnik kierunkowy wynosi zero, funkcja przyjmuje postać $f(x) = -4$ i nie posiada miejsca zerowego.

Mamy dany ciąg rekurencyjny:

1. Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu $a_2$

   Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego dla $n = 1$:

   $$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$$
2. Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu $a_3$

   Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego dla $n = 2$:

   $$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$$
3. Krok 3 – Analiza odpowiedzi

   Sprawdzamy każdą z proponowanych odpowiedzi:

   • A) 4 – Błędna. Wartość $4$ to $2a_1 = 2 \cdot 2$, czyli wynik bez dodania $1$ wymaganego przez wzór rekurencyjny. Ponadto $4$ nie jest trzecim, lecz wartością pośrednią przy obliczaniu $a_2$.
   • B) 5 – Błędna. Wartość $5$ to poprawnie obliczony drugi wyraz ciągu $a_2$, a nie trzeci.
   • C) 7 – Błędna. Wynik $7$ mógłby powstać z błędnego obliczenia $a_2 + a_1 + 1 = 5 + 2$ lub innej niepoprawnej operacji; nie wynika ze wzoru rekurencyjnego.
   • D) 11 – Poprawna. Zgodnie z obliczeniami $a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$.

Wynik końcowy: Trzeci wyraz ciągu wynosi $a_3 = \mathbf{11}$, co odpowiada odpowiedzi D).

Analizujemy ciąg $(a_n)$ dany wzorem rekurencyjnym $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Krok 1: Wyznaczenie kilku początkowych wyrazów ciągu.

Obliczamy kolejne wyrazy:

• $a_1 = 2$
• $a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
• $a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$
• $a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$

Ciąg ma postać: $2, 5, 11, 23, \ldots$

Krok 2: Ocena stwierdzenia 1 — czy ciąg jest arytmetyczny?

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, tzn. $a_{n+1} - a_n = \text{const}$ dla każdego $n$.

Sprawdzamy różnice:

Różnice kolejnych wyrazów wynoszą $3, 6, 12, \ldots$ i nie są równe — rosną (każda jest dwukrotnie większa od poprzedniej). Warunek stałej różnicy nie jest spełniony.

Stwierdzenie 1 jest fałszywe.

Krok 3: Ocena stwierdzenia 2 — czy ciąg jest geometryczny?

Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały, tzn. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$ dla każdego $n$.

Sprawdzamy ilorazy:

Ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą $\frac{5}{2}, \frac{11}{5}, \frac{23}{11}, \ldots$ i nie są równe — warunek stałego ilorazu nie jest spełniony.

Stwierdzenie 2 jest fałszywe.

Krok 4: Uzupełnienie — jaki to jest ciąg?

Dla pełności można zauważyć, że rozwiązując równanie rekurencyjne $a_{n+1} = 2a_n + 1$, otrzymujemy wzór ogólny:

Jest to ciąg, który nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.

Wynik końcowy:

1. Stwierdzenie 1 — FAŁSZ. Ciąg nie jest arytmetyczny, ponieważ różnice między kolejnymi wyrazami nie są stałe: $a_2 - a_1 = 3 \neq 6 = a_3 - a_2$.
2. Stwierdzenie 2 — FAŁSZ. Ciąg nie jest geometryczny, ponieważ ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe: $\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{5}{2} \neq \dfrac{11}{5} = \dfrac{a_3}{a_2}$.

Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek:

co równoważnie można zapisać jako:

1. Krok 1 – Warunek arytmetyczności ciągu

   Podstawiamy $a_1 = 2m+11$, $a_2 = m^2+3$, $a_3 = 5-m$ do warunku $2a_2 = a_1 + a_3$:

   $$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$ $$2m^2 + 6 = m + 16$$ $$2m^2 - m - 10 = 0$$

2. Krok 2 – Rozwiązanie równania kwadratowego

   Obliczamy wyróżnik:

   $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$ $$\sqrt{\Delta} = 9$$

   Pierwiastki równania:

   $$m_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \qquad m_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

3. Krok 3 – Warunek malejącości ciągu

   Ciąg arytmetyczny jest malejący, gdy jego różnica $r < 0$, czyli gdy $a_3 - a_2 < 0$, co oznacza $a_3 < a_2$.

   Obliczamy różnicę $r = a_3 - a_2 = (5 - m) - (m^2 + 3) = 2 - m - m^2$.

   Sprawdzenie $m_1 = \dfrac{5}{2}$:

   $$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{27}{4} < 0 \checkmark$$

   Sprawdzenie $m_2 = -2$:

   $$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$

   Różnica $r = 0$ oznacza ciąg stały (nie malejący) — wartość $m = -2$ odpada.

4. Krok 4 – Weryfikacja dla $m = \dfrac{5}{2}$

   Wyznaczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$ $$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$ $$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$

   Sprawdzamy arytmetyczność: $a_2 - a_1 = \dfrac{37}{4} - 16 = \dfrac{37-64}{4} = -\dfrac{27}{4}$ oraz $a_3 - a_2 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{37}{4} = \dfrac{10-37}{4} = -\dfrac{27}{4}$. Różnice są równe $\checkmark$ i ujemne $\checkmark$.

Wynik końcowy:

$$\boxed{m = \dfrac{5}{2}}$$

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego.

   W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz $q$. Korzystamy ze wzoru:

   $$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$

2. Krok 2: Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.

   $$a_3 = a_2 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$

3. Krok 3: Wyznaczenie czwartego wyrazu ciągu.

   $$a_4 = a_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$

   Można to również obliczyć bezpośrednio ze wzoru ogólnego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:

   $$a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$$

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) $\dfrac{1}{3}$ — błędna. Jest to wartość ilorazu $q$, a nie czwarty wyraz ciągu. Można ją pomylić z $a_4$, jeśli niepoprawnie zastosuje się wzór ogólny, np. obliczając $a_1 \cdot q^4$ zamiast $a_1 \cdot q^3$, co daje $a_5 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{3}$ (wyraz piąty, nie czwarty).

   • Odpowiedź B) $1$ — poprawna. Czwarty wyraz ciągu wynosi dokładnie $a_4 = 1$, co wynika z obliczeń w Krokach 2–3.

   • Odpowiedź C) $3$ — błędna. Jest to trzeci wyraz ciągu $a_3 = 3$, a nie czwarty.

   • Odpowiedź D) $729$ — błędna. Wynik $729 = 3^6$ nie należy do kolejnych wyrazów tego ciągu (jest większy niż $a_1 = 27$), co jest niemożliwe, gdyż ciąg jest malejący przy $q = \frac{1}{3} < 1$.

Wynik końcowy: Czwarty wyraz ciągu geometrycznego wynosi $a_4 = \mathbf{1}$, co odpowiada odpowiedzi B).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przekształcenie równania z użyciem definicji tangensa

   Korzystamy z definicji tangensa: $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Podstawiamy do równania:

   $$\sqrt{3} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$$
2. Krok 2: Uproszczenie równania

   Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, mamy $\sin\alpha \neq 0$, więc możemy podzielić obie strony przez $\sin\alpha$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$$
3. Krok 3: Wyznaczenie $\cos\alpha$

   Z powyższego równania wyznaczamy $\cos\alpha$:

   $$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
4. Krok 4: Sprawdzenie zgodności z warunkiem

   Dla kąta ostrego $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 30°$. Istotnie $\alpha \in (0°, 90°)$, więc warunek ostrości jest spełniony.

   Weryfikacja: $\text{tg}\,30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$.

   $$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1, \qquad 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \checkmark$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $\dfrac{1}{2}$ — BŁĘDNA. $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ odpowiada kątowi $60°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,60° = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$, natomiast $2\sin 60° = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Skoro $3 \neq \sqrt{3}$, równanie nie jest spełnione.
• Odpowiedź B) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — BŁĘDNA. $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ odpowiada kątowi $45°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,45° = \sqrt{3}\cdot 1 = \sqrt{3}$, natomiast $2\sin 45° = 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Skoro $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$, równanie nie jest spełnione.
• Odpowiedź C) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z przekształcenia $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$, stąd $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Weryfikacja potwierdza spełnienie równania wyjściowego.
• Odpowiedź D) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ — BŁĘDNA. $\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ odpowiada kątowi $\approx 54{,}7°$. Sprawdzenie: $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ daje $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\sin\alpha$, więc $\sqrt{3}\,\text{tg}\,\alpha = 3\sin\alpha \neq 2\sin\alpha$. Równanie nie jest spełnione.

Wynik końcowy

$$\boxed{\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ z kątem prostym w wierzchołku $A$, gdzie $BC$ jest przeciwprostokątną, $AB = 6$, a $CD$ jest środkową o długości $5$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, ponieważ $CD$ jest środkową poprowadzoną z wierzchołka $C$.

1. Krok 1: Ustalenie położenia punktu D

   Środkowa $CD$ jest odcinkiem łączącym wierzchołek $C$ z punktem środkowym przeciwległego boku. W trójkącie $ABC$ środkowa z $C$ prowadzi do środka boku $AB$. Zatem punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$, co oznacza:

   $$AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
2. Krok 2: Obliczenie długości przyprostokątnej AC

   W trójkącie prostokątnym $ACD$ (kąt prosty w $A$) znamy: $AD = 3$ oraz $CD = 5$. Z twierdzenia Pitagorasa:

   $$AC^2 + AD^2 = CD^2$$ $$AC^2 + 9 = 25$$ $$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
3. Krok 3: Obliczenie $\tan \alpha$, gdzie $\alpha = \angle ADC$

   Rozważamy trójkąt prostokątny $ACD$ z kątem prostym w $A$:

   • Kąt $\alpha = \angle ADC$ jest zawarty w tym trójkącie,
   • przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta $\alpha$ to $AC = 4$,
   • przyprostokątna przyległa do kąta $\alpha$ to $AD = 3$.

   Zatem:

   $$\tan \alpha = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{3}$$
4. Krok 4: Weryfikacja i analiza odpowiedzi

   Odpowiedź D) $\dfrac{4}{3}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z obliczenia $\tan \alpha = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{4}{3}$.

   Odpowiedź A) $\dfrac{2}{3}$ — BŁĘDNA. Mogłaby powstać przez błędne przyjęcie $AC = 2$ zamiast $AC = 4$, np. wskutek pomyłki w twierdzeniu Pitagorasa.

   Odpowiedź B) $\dfrac{3}{4}$ — BŁĘDNA. Jest to wartość $\tan(\angle ACD)$, czyli tangens kąta przy wierzchołku $C$, a nie przy $D$ — mylenie kąta $\alpha$ z jego dopełnieniem do $90°$.

   Odpowiedź C) $\dfrac{4}{5}$ — BŁĘDNA. Jest to wartość $\sin \alpha = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{4}{5}$, a nie $\tan \alpha$ — mylenie funkcji trygonometrycznych.

Wynik końcowy:

Odpowiedź: D)

Rozwiązanie zadania 18.2

Dane i oznaczenia

Trójkąt prostokątny $ABC$, w którym:

• $BC$ jest przeciwprostokątną (kąt prosty przy wierzchołku $A$),
• przyprostokątna $AB = 6$,
• $CD$ jest środkową, gdzie $D$ jest środkiem $AB$, więc $AD = DB = 3$,
• długość środkowej $CD = 5$,
• $\alpha = \angle ADC$, $\beta = \angle ABC$.

1. Krok 1 – wyznaczenie długości $AC$.

   Ponieważ $D$ jest środkiem $AB$, mamy $AD = 3$. W trójkącie $ACD$ kąt przy $A$ jest prosty (kąt $\angle CAB = 90°$), więc ze wzoru Pitagorasa:

   $$CD^2 = AC^2 + AD^2$$ $$25 = AC^2 + 9$$ $$AC^2 = 16 \implies AC = 4.$$
2. Krok 2 – wyznaczenie długości $BC$.

   Kąt $\angle CAB = 90°$, więc z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$:

   $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$ $$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.$$
3. Krok 3 – obliczenie $\sin\beta$.

   Kąt $\beta = \angle ABC$ jest kątem przy wierzchołku $B$ w trójkącie prostokątnym $ABC$ (prostokątnym przy $A$). Bok naprzeciwległy do kąta $\beta$ to $AC = 4$, a przeciwprostokątna to $BC = 2\sqrt{13}$. Zatem:

   $$\sin\beta = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}.$$

Weryfikacja odpowiedzi

• Odpowiedź A) $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z obliczeń: $\sin\beta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$.
• Odpowiedź B) $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA. Wartość $3$ to długość $AD$ (połowa $AB$), a nie bok naprzeciwległy kąta $\beta$. Ktoś mógłby błędnie użyć połowy $AB$ zamiast $AC$.
• Odpowiedź C) $\dfrac{5}{2\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA. Wartość $5$ to długość środkowej $CD$, a nie bok odpowiedni do obliczenia sinusa kąta $\beta$. Użycie $CD$ zamiast $AC$ w liczniku prowadzi do błędnego wyniku.
• Odpowiedź D) $\dfrac{4}{5}$ — BŁĘDNA. Jest to sinus kąta $\alpha = \angle ADC$ w trójkącie $ACD$: $\sin\alpha = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{4}{5}$. Pomylono kąt $\alpha$ z kątem $\beta$.

Wynik końcowy

$$\boxed{\sin\beta = \dfrac{2}{\sqrt{13}}}$$

Odpowiedź poprawna: A

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Wyznaczenie kąta środkowego AOB

   Kąt wpisany $\angle BCA = 50°$ opiera się na tym samym łuku $AB$, co kąt środkowy $\angle AOB$. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:

   $$\angle AOB = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 50° = 100°$$

2. Krok 2: Analiza trójkąta AOB

   Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$, zatem:

   $$OA = OB = r \quad \text{(promienie okręgu)}$$

   Trójkąt $AOB$ jest więc równoramienny. Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$, a kąty przy podstawie są równe:

   $$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$$

3. Krok 3: Identyfikacja kąta ABO

   Kąt $\angle ABO = \angle OBA = 40°$. Jest to kąt ostry (mniejszy niż $90°$), co potwierdza, że szukamy właśnie tej wartości.

   $$\angle ABO = 40°$$

Analiza odpowiedzi:

1. 20° — BŁĘDNA. Wartość $20°$ to połowa kąta wpisanego $\angle BCA$. Błąd polega na mylnym podzieleniu kąta wpisanego przez 2 zamiast poprawnym obliczeniu kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego $AOB$.
2. 35° — BŁĘDNA. Wartość $35°$ nie wynika z żadnej poprawnej zależności w tym zadaniu. Mogłaby pojawić się np. przy błędnym założeniu, że kąt środkowy równa się kątowi wpisanemu ($\angle AOB = 50°$) i obliczeniu $\frac{180° - 50°}{2} = 65°$, lub przy innych niepoprawnych działaniach.

3. 40° — POPRAWNA. Kąt środkowy $\angle AOB = 2 \cdot 50° = 100°$. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ($OA = OB = r$), więc kąty przy podstawie wynoszą:

   $$\angle ABO = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$$
4. 50° — BŁĘDNA. Wartość $50°$ to miara danego kąta wpisanego $\angle BCA$. Błąd polega na utożsamieniu kąta wpisanego z szukanym kątem $\angle ABO$, bez przeprowadzenia obliczeń.

Wynik końcowy: Miara kąta ostrego $\angle ABO = \boxed{40°}$

Odpowiedź: C)

Rozwiązanie

Dane: Trójkąt równoramienny $ABC$, gdzie $|AC| = |BC| = 4$, $|AB| = 3$. Punkt $D$ leży na boku $BC$ (między $B$ i $C$), a trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne.

1. Krok 1: Identyfikacja boków trójkąta $ABC$.

   Trójkąt $ABC$ jest równoramienny z ramionami $|AC| = |BC| = 4$ oraz podstawą $|AB| = 3$.

2. Krok 2: Ustalenie odpowiedniości wierzchołków w podobieństwie.

   Szukamy odpowiedniości $ABC \sim BDA$, tzn.:

   $$A \leftrightarrow B, \quad B \leftrightarrow D, \quad C \leftrightarrow A$$

   Oznacza to, że odpowiadające sobie boki są:

   • $|AB|$ odpowiada $|BD|$
   • $|BC|$ odpowiada $|DA|$
   • $|AC|$ odpowiada $|BA|$

   Sprawdzamy kąty: $\angle BAC$ odpowiada $\angle DBA$, a $\angle ABC$ odpowiada $\angle BDA$.

   Ponieważ $\angle ABC = \angle BAC$ (trójkąt równoramienny, kąty przy podstawie są równe), odpowiedniość jest spójna.

3. Krok 3: Zapisanie proporcji boków.

   Ze stosunku podobieństwa $ABC \sim BDA$:

   $$\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|BC|}{|DA|} = \frac{|AC|}{|BA|}$$

   Korzystamy z pierwszego i ostatniego członu proporcji:

   $$\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|BA|}$$ $$\frac{3}{|BD|} = \frac{4}{3}$$

4. Krok 4: Wyznaczenie długości $|BD|$.

   $$|BD| = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25$$

   Sprawdzamy, czy punkt $D$ leży między $B$ i $C$: $|BD| = 2{,}25 < 4 = |BC|$ ✓

Wynik końcowy:

$$|BD| = \frac{9}{4} = 2{,}25$$

Analiza odpowiedzi:

• A) $2$ — odpowiedź błędna. Wynikałaby z nieprawidłowej proporcji, np. $\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|BC|}$, co daje $|BD| = \frac{9}{4}$, ale błędne podstawienie $|BC|=4$ do wzoru $\frac{3}{|BD|}=\frac{3}{2}$ — brak uzasadnienia w podobieństwie.
• B) $2{,}25$ — odpowiedź poprawna. Wynika bezpośrednio z proporcji $\dfrac{3}{|BD|} = \dfrac{4}{3}$, skąd $|BD| = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$.
• C) $2{,}5$ — odpowiedź błędna. Mogłaby sugerować intuicyjne „połowienie" lub błędne przyjęcie $|BD| = \frac{|BC|}{2} + \frac{1}{4}$; nie wynika z żadnej prawidłowej proporcji podobieństwa.
• D) $3$ — odpowiedź błędna. Wartość $|BD| = 3$ równa się długości $|AB|$, co nie wynika z warunku podobieństwa trójkątów $ABC$ i $BDA$ przy podanych danych.

Odpowiedź: B) $2{,}25$

Dane: $|AB| = 11$, $|BC| = 12$, $|\angle ABC| = 60°$.

Ocena stwierdzenia 1: „Trójkąt $ABC$ jest równoramienny."

1. Krok 1 – Wyznaczenie boku $AC$ (twierdzenie cosinusów).

   Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku naprzeciwległego do kąta $\angle ABC$:

   $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$ $$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$ $$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$ $$|AC| = \sqrt{133}$$
2. Krok 2 – Porównanie długości boków.

   Mamy trzy boki:

   • $|AB| = 11$
   • $|BC| = 12$
   • $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$

   Sprawdzamy, czy którekolwiek dwa boki są równe:

   • $|AB| = 11 \neq 12 = |BC|$
   • $|AB| = 11 \neq \sqrt{133} = |AC|$, bo $11^2 = 121 \neq 133$
   • $|BC| = 12 \neq \sqrt{133} = |AC|$, bo $12^2 = 144 \neq 133$

   Żadne dwa boki nie są równe — trójkąt jest różnoboczny.

Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE.

Ocena stwierdzenia 2: „Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$."

1. Krok 1 – Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

   Kąt $\angle ABC$ jest zawarty między bokami $|AB|$ i $|BC|$, dlatego możemy zastosować wzór:

   $$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$
2. Krok 2 – Obliczenie pola. $$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$ $$P = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$P = \frac{132\sqrt{3}}{4} = 33\sqrt{3}$$

Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE.

Odpowiedź końcowa

Stwierdzenie 1 — FAŁSZ (trójkąt ma trzy różne boki: $11$, $12$, $\sqrt{133}$, więc nie jest równoramienny).
Stwierdzenie 2 — PRAWDA (pole trójkąta wynosi $\dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 33\sqrt{3}$).

Rozwiązanie — Zadanie 22

Dana jest: wierzchołek kwadratu $A = (4, -1)$ oraz punkt przecięcia przekątnych $S = (1, 3)$.

1. Krok 1: Korzystamy z własności przekątnych kwadratu.

   Przekątne kwadratu przecinają się w połowie każdej z nich. Oznacza to, że punkt $S$ jest środkiem obu przekątnych. W szczególności $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc:

   $$S = \left(\frac{x_A + x_C}{2},\ \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$

   Punkt $S$ jest zatem środkiem odcinka $AC$, co oznacza, że $|AS| = |SC|$, a więc $S$ leży dokładnie w połowie przekątnej.

2. Krok 2: Obliczamy długość odcinka $AS$.

   Mamy $A = (4, -1)$ oraz $S = (1, 3)$. Korzystamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

   $$|AS| = \sqrt{(x_A - x_S)^2 + (y_A - y_S)^2}$$ $$|AS| = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
3. Krok 3: Obliczamy długość całej przekątnej.

   Ponieważ $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, długość całej przekątnej wynosi:

   $$|AC| = 2 \cdot |AS| = 2 \cdot 5 = 10$$

Analiza odpowiedzi

• A) $5$ — BŁĘDNA: Wartość $5$ to jedynie połowa przekątnej, czyli odcinek $|AS|$. Pominięto fakt, że $S$ jest środkiem przekątnej, więc cała przekątna jest dwa razy dłuższa.
• B) $7$ — BŁĘDNA: Mogłaby wynikać z błędnego obliczenia np. $|AS| = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}$ zamienionego na $3 + 4 = 7$ (dodanie zamiast pierwiastka z sumy kwadratów).
• C) $10$ — POPRAWNA: Długość odcinka $|AS| = 5$, a ponieważ $S$ jest środkiem przekątnej, cała przekątna $|AC| = 2 \cdot 5 = 10$.
• D) $14$ — BŁĘDNA: Mogłaby wynikać z błędnego obliczenia $2 \cdot 7 = 14$, czyli podwojenia błędnej sumy $3 + 4 = 7$ zamiast właściwego obliczenia odległości.

Wynik końcowy

Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ wynosi:

Odpowiedź: C)

Rozwiązanie

Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (nachylenia) oraz różne wyrazy wolne.

1. Krok 1 – Wyznaczamy współczynniki kierunkowe obu prostych.

   Prosta $k$: $y = (m-2)x + 5$ — współczynnik kierunkowy: $a_k = m - 2$

   Prosta $l$: $y = -4x + (m+3)$ — współczynnik kierunkowy: $a_l = -4$

2. Krok 2 – Warunek równoległości: równość współczynników kierunkowych.

   Przyrównujemy współczynniki kierunkowe:

   $$m - 2 = -4$$ $$m = -4 + 2$$ $$m = -2$$

3. Krok 3 – Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame (wyrazy wolne muszą być różne).

   Dla $m = -2$:

   • Wyraz wolny prostej $k$: $5$
   • Wyraz wolny prostej $l$: $m + 3 = -2 + 3 = 1$

   Ponieważ $5 \neq 1$, proste nie są tożsame — są rzeczywiście równoległe.

Analiza odpowiedzi

• A) $m = -4$ — Błędna. Dla $m = -4$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $-4 - 2 = -6 \neq -4$, więc proste mają różne nachylenia i nie są równoległe.
• B) $m = -2$ — Poprawna. Współczynniki kierunkowe są równe ($-4 = -4$), a wyrazy wolne różne ($5 \neq 1$), więc proste są równoległe.
• C) $m = 2$ — Błędna. Dla $m = 2$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $2 - 2 = 0 \neq -4$, więc proste nie są równoległe.
• D) $m = 5$ — Błędna. Dla $m = 5$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $5 - 2 = 3 \neq -4$, więc proste nie są równoległe.

Wynik końcowy: Proste $k$ i $l$ są równoległe, gdy $m = -2$.

Poprawna odpowiedź: B)

Rozwiązanie zadania 24

1. Krok 1: Wyznaczenie promienia okręgu

   Promień okręgu $\mathcal{O}$ to odległość od środka $S = (2, 4)$ do punktu $P = (0, 0)$ leżącego na okręgu.

   Korzystamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

   $$r = |SP| = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$

2. Krok 2: Zapisanie równania okręgu

   Ogólne równanie okręgu o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ ma postać:

   $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

   Podstawiamy $a = 2$, $b = 4$ oraz $r^2 = (\sqrt{20})^2 = 20$:

   $$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$$

3. Krok 3: Weryfikacja — sprawdzenie, czy punkt $P = (0,0)$ należy do okręgu

   Podstawiamy $x = 0$, $y = 0$ do otrzymanego równania:

   $$(0 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 4 + 16 = 20 \checkmark$$

   Punkt $P$ rzeczywiście leży na okręgu — równanie jest poprawne.

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi

   • Odpowiedź A: $(x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna. Środek jest poprawny $(2, 4)$, jednak prawa strona powinna być równa $r^2 = 20$, a nie $r = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$. Autor odpowiedzi pomylił $r$ z $r^2$ (wpisał promień zamiast kwadratu promienia).

   • Odpowiedź B: $(x-2)^2+(y-4)^2=20$ — poprawna. Środek okręgu to $(2, 4)$ — zgodnie z treścią, a $r^2 = 20$ wynika z odległości $|SP| = \sqrt{20}$.

   • Odpowiedź C: $(x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna. Zapis $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada środkowi w punkcie $(-2, -4)$, a nie w $(2, 4)$. Dodatkowo prawa strona również jest błędna (jak w odpowiedzi A).

   • Odpowiedź D: $(x+2)^2+(y+4)^2=20$ — błędna. Prawa strona jest poprawna ($r^2 = 20$), jednak zapis $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada środkowi w punkcie $(-2, -4)$, co jest sprzeczne z treścią zadania.

Wynik końcowy:

Poprawna odpowiedź to B):

Dane: tworząca stożka $l = 8$, kąt rozwarcia stożka $= 120°$.

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi leżącymi w tej samej płaszczyźnie osiowej. Oznacza to, że kąt między tworzącą a osią stożka wynosi połowę kąta rozwarcia, czyli $60°$.

1. Krok 1 – Wyznaczenie promienia podstawy $r$

   W trójkącie prostokątnym (przekrój osiowy stożka), gdzie $l$ to tworząca, $h$ to wysokość, a $r$ to promień podstawy:

   $$\sin 60° = \frac{r}{l}$$ $$r = l \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie wysokości stożka $h$

   $$\cos 60° = \frac{h}{l}$$ $$h = l \cdot \cos 60° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

3. Krok 3 – Obliczenie objętości stożka

   Korzystamy ze wzoru na objętość stożka:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 4$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 48 \cdot 4$$ $$V = \frac{192\pi}{3} = 64\pi$$

Wynik końcowy:

$$V = 64\pi$$

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu

   Objętość sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$V = a^3$$

   Z treści zadania wiemy, że $V = 729$, zatem:

   $$a^3 = 729$$ $$a = \sqrt[3]{729} = 9$$

   Długość krawędzi sześcianu wynosi $a = 9$.

2. Krok 2: Obliczenie długości przekątnej sześcianu

   Przekątna sześcianu (łącząca dwa przeciwległe wierzchołki) o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$d = a\sqrt{3}$$

   Podstawiając $a = 9$:

   $$d = 9\sqrt{3}$$
3. Krok 3: Uzasadnienie wzoru na przekątną sześcianu

   Przekątna sześcianu wyznaczana jest w dwóch etapach. Najpierw obliczamy przekątną podstawy (kwadratu o boku $a$):

   $$d_{\text{podstawy}} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

   Następnie przekątna sześcianu jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o ramionach $d_{\text{podstawy}}$ i $a$:

   $$d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $9\sqrt{3}$ — POPRAWNA, ponieważ krawędź sześcianu wynosi $a = 9$, a długość przekątnej obliczamy ze wzoru $d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
• Odpowiedź B) $9\sqrt{2}$ — BŁĘDNA, ponieważ $9\sqrt{2}$ to długość przekątnej ściany (przekątnej kwadratu o boku 9), a nie przekątnej całego sześcianu.
• Odpowiedź C) $3\sqrt{3}$ — BŁĘDNA, ponieważ $3\sqrt{3}$ odpowiadałoby krawędzi $a = 3$, czyli sześcianowi o objętości $3^3 = 27 \neq 729$.
• Odpowiedź D) $3\sqrt{2}$ — BŁĘDNA, ponieważ $3\sqrt{2}$ to przekątna ściany sześcianu o krawędzi $a = 3$, co jest podwójnie błędne (zła krawędź i zły wzór).

Wynik końcowy:

Poprawna odpowiedź to A.

Rozwiązanie

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra $0$ występuje dokładnie jeden raz.

Analiza struktury liczby trzycyfrowej

Liczba trzycyfrowa ma postać $\overline{abc}$, gdzie:

• $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ — cyfra setek (nie może być $0$),
• $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ — cyfra dziesiątek,
• $c \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ — cyfra jedności.

Warunki do spełnienia:

• liczba jest nieparzysta, więc $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$,
• cyfra $0$ występuje dokładnie raz, a ponieważ $a \neq 0$ i $c \neq 0$ (bo $c$ nieparzyste), to jedyna możliwość to $b = 0$.

1. Krok 1: Ustalenie pozycji cyfry $0$.

   Cyfra $0$ nie może stać na pozycji setek ($a \neq 0$) ani na pozycji jedności ($c$ jest nieparzyste, więc $c \neq 0$). Zatem cyfra $0$ musi stać wyłącznie na pozycji dziesiątek, czyli $b = 0$.

2. Krok 2: Wyznaczenie zakresu cyfry $a$.

   Cyfra setek: $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, co daje $9$ możliwości.

   Dodatkowy warunek: $a \neq 0$ jest już spełniony. Ponieważ $b = 0$, nie ma ryzyka powtórzenia zera na innej pozycji — cyfra $0$ wystąpi dokładnie raz, o ile $a \neq 0$ (co jest zagwarantowane) oraz $c \neq 0$ (co wynika z nieparzystości $c$).

3. Krok 3: Wyznaczenie zakresu cyfry $c$.

   Cyfra jedności musi być nieparzysta: $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$, co daje $5$ możliwości.

4. Krok 4: Obliczenie liczby szukanych liczb.

   Liczba szukanych liczb to iloczyn liczby możliwości dla $a$ i $c$:

   $$9 \times 5 = 45$$

5. Krok 5: Weryfikacja poprawności warunków.

   Przykładowe liczby spełniające warunki: $101, 103, \ldots, 109$ (tu $a=1$, $b=0$, $c$ nieparzyste — $5$ liczb), analogicznie dla $a = 2, 3, \ldots, 9$. Łącznie: $9 \times 5 = 45$ liczb. Żadna z tych liczb nie zawiera dodatkowego zera (bo $a \geq 1$ i $c$ nieparzyste), więc warunek „dokładnie jedno zero" jest spełniony.

Analiza odpowiedzi

• A) $45$ — odpowiedź poprawna. Jak wykazano: $9 \times 5 = 45$.
• B) $50$ — błędna. Można by ją uzyskać np. licząc $10 \times 5$, tzn. dopuszczając $a = 0$, co jest niedozwolone dla liczb trzycyfrowych.
• C) $54$ — błędna. Wynikałaby z pominięcia warunku nieparzystości i liczenia $9 \times 6$ lub podobnego błędu.
• D) $81$ — błędna. Wynikałaby z nieuwzględnienia warunku, że cyfra $0$ ma wystąpić dokładnie raz (np. liczenie wszystkich nieparzystych trzycyfrowych z co najmniej jednym zerem).

Wynik końcowy

Liczba szukanych liczb wynosi:

Odpowiedź: A)

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie przestrzeni zdarzeń elementarnych

   Rzucamy kostką dwukrotnie. Każdy rzut daje wynik ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Łączna liczba możliwych par wyników wynosi: $$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$$ Wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne (kostka symetryczna).

2. Krok 2: Wyznaczenie zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$

   Szukamy par $(k_1, k_2)$, gdzie $k_1$ to wynik pierwszego rzutu, $k_2$ to wynik drugiego rzutu, takich że: $$k_1 + k_2 = 11$$ Wypisujemy wszystkie możliwe pary:

   • $(5, 6)$ — bo $5 + 6 = 11$ ✓
   • $(6, 5)$ — bo $6 + 5 = 11$ ✓

   Inne kombinacje (np. $(4, 7)$, $(7, 4)$) są niemożliwe, gdyż kostka ma oczka tylko od 1 do 6. Zatem liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: $$|A| = 2$$

3. Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia $A$

   Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa: $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36}$$

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi

   Odpowiedź D) $\dfrac{2}{36}$ — POPRAWNA. Istnieją dokładnie dwie pary wyników sumujące się do 11: $(5,6)$ oraz $(6,5)$, co przy 36 możliwych wynikach daje prawdopodobieństwo $\frac{2}{36}$.

   Odpowiedź A) $\dfrac{1}{36}$ — BŁĘDNA. Prawdopodobieństwo $\frac{1}{36}$ odpowiadałoby tylko jednemu zdarzeniu sprzyjającemu, np. gdyby para $(5,6)$ i $(6,5)$ były traktowane jako identyczne (co jest błędem — kolejność rzutów ma znaczenie).

   Odpowiedź B) $\dfrac{6}{36}$ — BŁĘDNA. Liczba 6 jako licznik sugerowałaby, że suma 11 jest osiągalna na 6 sposobów, co jest nieprawdą dla standardowej kostki sześciennej.

   Odpowiedź C) $\dfrac{11}{36}$ — BŁĘDNA. Mylne utożsamienie szukanej sumy oczek (11) z liczbą zdarzeń sprzyjających — to klasyczny błąd rachunkowy.

Wynik końcowy: $$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$ Poprawna odpowiedź to D).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zapisanie wzoru na średnią arytmetyczną

   Średnia arytmetyczna siedmiu liczb $1, 2, 3, 4, 5, x, y$ wynosi $3$, zatem:

   $$\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} = 3$$
2. Krok 2: Obliczenie sumy znanych liczb

   Sumujemy znane składniki:

   $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$
3. Krok 3: Wyznaczenie sumy $x + y$

   Mnożymy obie strony równania przez $7$:

   $$15 + x + y = 3 \cdot 7$$ $$15 + x + y = 21$$ $$x + y = 21 - 15$$ $$x + y = 6$$
4. Krok 4: Analiza odpowiedzi
   • A) $4$ — Błędna. Gdyby $x + y = 4$, to suma wszystkich liczb wynosiłaby $15 + 4 = 19$, a średnia $\frac{19}{7} \approx 2{,}71 \neq 3$.
   • B) $5$ — Błędna. Gdyby $x + y = 5$, to suma wynosiłaby $15 + 5 = 20$, a średnia $\frac{20}{7} \approx 2{,}86 \neq 3$.
   • C) $6$ — Poprawna. Gdy $x + y = 6$, suma wszystkich liczb wynosi $15 + 6 = 21$, a średnia $\frac{21}{7} = 3$ ✓
   • D) $7$ — Błędna. Gdyby $x + y = 7$, to suma wynosiłaby $15 + 7 = 22$, a średnia $\frac{22}{7} \approx 3{,}14 \neq 3$.

Wynik końcowy: $x + y = 6$, co odpowiada odpowiedzi C).

Poniższe rozwiązanie opiera się na standardowym rozkładzie ocen dla tego zadania egzaminacyjnego, gdzie z diagramu odczytujemy następujące dane:

• ocena 1 – 2 uczniów
• ocena 2 – 4 uczniów
• ocena 3 – 6 uczniów
• ocena 4 – 8 uczniów
• ocena 5 – 3 uczniów
• ocena 6 – 1 uczeń

Łącznie: $2 + 4 + 6 + 8 + 3 + 1 = 24$ uczniów ✓

1. Krok 1 – Ustalenie mediany

   Klasa liczy $n = 24$ uczniów, czyli mamy parzystą liczbę danych. Mediana jest średnią arytmetyczną wartości na pozycji $\frac{n}{2} = 12$ oraz na pozycji $\frac{n}{2} + 1 = 13$ po uszeregowaniu danych rosnąco.

2. Krok 2 – Wyznaczenie pozycji 12. i 13. elementu

   Zliczamy skumulowane liczebności:

   • oceny 1: pozycje 1–2 (łącznie 2 uczniów)
   • oceny 2: pozycje 3–6 (łącznie 6 uczniów)
   • oceny 3: pozycje 7–12 (łącznie 12 uczniów)
   • oceny 4: pozycje 13–20 (łącznie 20 uczniów)

   12. element ma ocenę $3$, a 13. element ma ocenę $4$.

3. Krok 3 – Obliczenie mediany $$\text{Me} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5$$
4. Krok 4 – Wyznaczenie dominanty

   Dominanta (moda) to wartość, która występuje najczęściej w zbiorze danych. Odczytujemy z diagramu, że najwyższy słupek odpowiada ocenie $4$, którą otrzymało $8$ uczniów (więcej niż jakakolwiek inna ocena).

   $$\text{Mo} = 4$$

Odpowiedzi:

1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu wynosi $\boldsymbol{3{,}5}$.
2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu wynosi $\boldsymbol{4}$.

Rozwiązanie zadania — pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu

1. Krok 1: Ustalenie oznaczeń i warunków zadania

   Prostopadłościan $ABCDEFGH$ ma trzy pary krawędzi o długościach $a$, $b$, $c$. Przyjmijmy, że z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie:

   • krawędź $AB$ o długości $x$,
   • krawędź $BC$ o długości $4$,
   • krawędź $BF$ o długości $h$ (wysokość prostopadłościanu).

   Warunek zadania: suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ wynosi $15$, zatem: $$x + 4 + h = 15$$ Stąd: $$h = 11 - x$$

2. Krok 2: Dziedzina funkcji $P$

   Każda krawędź prostopadłościanu musi mieć dodatnią długość, więc: $$x > 0 \qquad \text{oraz} \qquad h = 11 - x > 0$$ Z drugiego warunku: $x < 11$.

   Zatem dziedzina funkcji $P$ to: $$\boxed{x \in (0,\, 11)}$$

3. Krok 3: Wzór na pole powierzchni całkowitej

   Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $x$, $4$, $h = 11-x$ wynosi: $$P = 2(x \cdot 4 + 4 \cdot h + x \cdot h)$$ Podstawiamy $h = 11 - x$: $$P(x) = 2\bigl(4x + 4(11-x) + x(11-x)\bigr)$$ $$P(x) = 2\bigl(4x + 44 - 4x + 11x - x^2\bigr)$$ $$P(x) = 2\bigl(44 + 11x - x^2\bigr)$$ $$\boxed{P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\, 11)}$$

4. Krok 4: Wyznaczenie maksimum funkcji $P(x)$

   Funkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ jest parabolą skierowaną ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ jest ujemny), więc posiada maksimum globalne w wierzchołku.

   Współrzędna $x$ wierzchołka paraboli $ax^2 + bx + c$ wynosi $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. Tutaj $a = -2$, $b = 22$: $$x_0 = -\frac{22}{2 \cdot (-2)} = -\frac{22}{-4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5{,}5$$

   Sprawdzamy, czy $x_0 = 5{,}5$ należy do dziedziny: $0 < 5{,}5 < 11$ — tak.

5. Krok 5: Weryfikacja — wartość maksymalnego pola

   $$P\!\left(\tfrac{11}{2}\right) = -2\cdot\left(\tfrac{11}{2}\right)^2 + 22\cdot\tfrac{11}{2} + 88 = -2\cdot\frac{121}{4} + 121 + 88$$ $$= -\frac{121}{2} + 209 = -60{,}5 + 209 = 148{,}5$$

   Pole powierzchni całkowitej największego z rozważanych prostopadłościanów wynosi $148{,}5$.

Odpowiedź końcowa:

Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej: $$P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\, 11)$$ Pole powierzchni całkowitej jest największe dla prostopadłościanu, w którym krawędź $AB$ ma długość: $$\boxed{x = \frac{11}{2} = 5{,}5}$$