Zadanie 26 Matura z matematyki 2025 — podstawowy, arkusz dostosowany

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu

   Objętość sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$V = a^3$$

   Z treści zadania wiemy, że $V = 729$, zatem:

   $$a^3 = 729$$ $$a = \sqrt[3]{729} = 9$$

   Długość krawędzi sześcianu wynosi $a = 9$.

2. Krok 2: Obliczenie długości przekątnej sześcianu

   Przekątna sześcianu (łącząca dwa przeciwległe wierzchołki) o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$d = a\sqrt{3}$$

   Podstawiając $a = 9$:

   $$d = 9\sqrt{3}$$
3. Krok 3: Uzasadnienie wzoru na przekątną sześcianu

   Przekątna sześcianu wyznaczana jest w dwóch etapach. Najpierw obliczamy przekątną podstawy (kwadratu o boku $a$):

   $$d_{\text{podstawy}} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

   Następnie przekątna sześcianu jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o ramionach $d_{\text{podstawy}}$ i $a$:

   $$d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $9\sqrt{3}$ — POPRAWNA, ponieważ krawędź sześcianu wynosi $a = 9$, a długość przekątnej obliczamy ze wzoru $d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
• Odpowiedź B) $9\sqrt{2}$ — BŁĘDNA, ponieważ $9\sqrt{2}$ to długość przekątnej ściany (przekątnej kwadratu o boku 9), a nie przekątnej całego sześcianu.
• Odpowiedź C) $3\sqrt{3}$ — BŁĘDNA, ponieważ $3\sqrt{3}$ odpowiadałoby krawędzi $a = 3$, czyli sześcianowi o objętości $3^3 = 27 \neq 729$.
• Odpowiedź D) $3\sqrt{2}$ — BŁĘDNA, ponieważ $3\sqrt{2}$ to przekątna ściany sześcianu o krawędzi $a = 3$, co jest podwójnie błędne (zła krawędź i zły wzór).

Wynik końcowy:

Poprawna odpowiedź to A.