Dane: tworząca stożka $l = 8$, kąt rozwarcia stożka $= 120°$.
Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi leżącymi w tej samej płaszczyźnie osiowej. Oznacza to, że kąt między tworzącą a osią stożka wynosi połowę kąta rozwarcia, czyli $60°$.
-
Krok 1 – Wyznaczenie promienia podstawy $r$
W trójkącie prostokątnym (przekrój osiowy stożka), gdzie $l$ to tworząca, $h$ to wysokość, a $r$ to promień podstawy:
$$\sin 60° = \frac{r}{l}$$
$$r = l \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$
-
Krok 2 – Wyznaczenie wysokości stożka $h$
$$\cos 60° = \frac{h}{l}$$
$$h = l \cdot \cos 60° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
-
Krok 3 – Obliczenie objętości stożka
Korzystamy ze wzoru na objętość stożka:
$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 4$$
$$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 48 \cdot 4$$
$$V = \frac{192\pi}{3} = 64\pi$$
Wynik końcowy:
$$V = 64\pi$$
