Rozwiązanie zadania 24
-
Krok 1: Wyznaczenie promienia okręgu
Promień okręgu $\mathcal{O}$ to odległość od środka $S = (2, 4)$ do punktu $P = (0, 0)$ leżącego na okręgu.
Korzystamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:
$$r = |SP| = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$
-
Krok 2: Zapisanie równania okręgu
Ogólne równanie okręgu o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ ma postać:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Podstawiamy $a = 2$, $b = 4$ oraz $r^2 = (\sqrt{20})^2 = 20$:
$$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$$
-
Krok 3: Weryfikacja — sprawdzenie, czy punkt $P = (0,0)$ należy do okręgu
Podstawiamy $x = 0$, $y = 0$ do otrzymanego równania:
$$(0 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 4 + 16 = 20 \checkmark$$
Punkt $P$ rzeczywiście leży na okręgu — równanie jest poprawne.
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi
-
Odpowiedź A: $(x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna. Środek jest poprawny $(2, 4)$, jednak prawa strona powinna być równa $r^2 = 20$, a nie $r = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$. Autor odpowiedzi pomylił $r$ z $r^2$ (wpisał promień zamiast kwadratu promienia).
-
Odpowiedź B: $(x-2)^2+(y-4)^2=20$ — poprawna. Środek okręgu to $(2, 4)$ — zgodnie z treścią, a $r^2 = 20$ wynika z odległości $|SP| = \sqrt{20}$.
-
Odpowiedź C: $(x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna. Zapis $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada środkowi w punkcie $(-2, -4)$, a nie w $(2, 4)$. Dodatkowo prawa strona również jest błędna (jak w odpowiedzi A).
-
Odpowiedź D: $(x+2)^2+(y+4)^2=20$ — błędna. Prawa strona jest poprawna ($r^2 = 20$), jednak zapis $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada środkowi w punkcie $(-2, -4)$, co jest sprzeczne z treścią zadania.
Wynik końcowy:
Poprawna odpowiedź to B):
$$\boxed{(x-2)^2+(y-4)^2=20}$$
