Rozwiązanie:
-
Krok 1: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz $q$. Korzystamy ze wzoru:
$$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$
-
Krok 2: Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.
$$a_3 = a_2 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$
-
Krok 3: Wyznaczenie czwartego wyrazu ciągu.
$$a_4 = a_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$
Można to również obliczyć bezpośrednio ze wzoru ogólnego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:
$$a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$$
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi.
Odpowiedź A) $\dfrac{1}{3}$ — błędna. Jest to wartość ilorazu $q$, a nie czwarty wyraz ciągu. Można ją pomylić z $a_4$, jeśli niepoprawnie zastosuje się wzór ogólny, np. obliczając $a_1 \cdot q^4$ zamiast $a_1 \cdot q^3$, co daje $a_5 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{3}$ (wyraz piąty, nie czwarty).
Odpowiedź B) $1$ — poprawna. Czwarty wyraz ciągu wynosi dokładnie $a_4 = 1$, co wynika z obliczeń w Krokach 2–3.
Odpowiedź C) $3$ — błędna. Jest to trzeci wyraz ciągu $a_3 = 3$, a nie czwarty.
Odpowiedź D) $729$ — błędna. Wynik $729 = 3^6$ nie należy do kolejnych wyrazów tego ciągu (jest większy niż $a_1 = 27$), co jest niemożliwe, gdyż ciąg jest malejący przy $q = \frac{1}{3} \lt 1$.
Wynik końcowy: Czwarty wyraz ciągu geometrycznego wynosi $a_4 = \mathbf{1}$, co odpowiada odpowiedzi B).
