Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek:
$$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \quad \text{(stała różnica)}$$
co równoważnie można zapisać jako:
$$2a_2 = a_1 + a_3$$
-
Krok 1 – Warunek arytmetyczności ciągu
Podstawiamy $a_1 = 2m+11$, $a_2 = m^2+3$, $a_3 = 5-m$ do warunku $2a_2 = a_1 + a_3$:
$$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$
$$2m^2 + 6 = m + 16$$
$$2m^2 - m - 10 = 0$$
-
Krok 2 – Rozwiązanie równania kwadratowego
Obliczamy wyróżnik:
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$
$$\sqrt{\Delta} = 9$$
Pierwiastki równania:
$$m_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \qquad m_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$
-
Krok 3 – Warunek malejącości ciągu
Ciąg arytmetyczny jest malejący, gdy jego różnica $r \lt 0$, czyli gdy $a_3 - a_2 \lt 0$, co oznacza $a_3 \lt a_2$.
Obliczamy różnicę $r = a_3 - a_2 = (5 - m) - (m^2 + 3) = 2 - m - m^2$.
Sprawdzenie $m_1 = \dfrac{5}{2}$:
$$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{27}{4} \lt 0 \checkmark$$
Sprawdzenie $m_2 = -2$:
$$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$
Różnica $r = 0$ oznacza ciąg stały (nie malejący) — wartość $m = -2$ odpada.
-
Krok 4 – Weryfikacja dla $m = \dfrac{5}{2}$
Wyznaczamy wyrazy ciągu:
$$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$
$$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$
$$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$
Sprawdzamy arytmetyczność: $a_2 - a_1 = \dfrac{37}{4} - 16 = \dfrac{37-64}{4} = -\dfrac{27}{4}$ oraz $a_3 - a_2 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{37}{4} = \dfrac{10-37}{4} = -\dfrac{27}{4}$. Różnice są równe $\checkmark$ i ujemne $\checkmark$.
Wynik końcowy:
$$\boxed{m = \dfrac{5}{2}}$$
