Rozwiązanie
-
Krok 1: Przekształcenie równania z użyciem definicji tangensa
Korzystamy z definicji tangensa: $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Podstawiamy do równania:
$$\sqrt{3} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$$
-
Krok 2: Uproszczenie równania
Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, mamy $\sin\alpha \neq 0$, więc możemy podzielić obie strony przez $\sin\alpha$:
$$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$$
-
Krok 3: Wyznaczenie $\cos\alpha$
Z powyższego równania wyznaczamy $\cos\alpha$:
$$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
-
Krok 4: Sprawdzenie zgodności z warunkiem
Dla kąta ostrego $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 30°$. Istotnie $\alpha \in (0°, 90°)$, więc warunek ostrości jest spełniony.
Weryfikacja: $\text{tg}\,30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$.
$$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1, \qquad 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \checkmark$$
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) $\dfrac{1}{2}$ — BŁĘDNA. $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ odpowiada kątowi $60°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,60° = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$, natomiast $2\sin 60° = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Skoro $3 \neq \sqrt{3}$, równanie nie jest spełnione.
- Odpowiedź B) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — BŁĘDNA. $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ odpowiada kątowi $45°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,45° = \sqrt{3}\cdot 1 = \sqrt{3}$, natomiast $2\sin 45° = 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Skoro $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$, równanie nie jest spełnione.
- Odpowiedź C) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z przekształcenia $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$, stąd $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Weryfikacja potwierdza spełnienie równania wyjściowego.
- Odpowiedź D) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ — BŁĘDNA. $\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ odpowiada kątowi $\approx 54{,}7°$. Sprawdzenie: $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ daje $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\sin\alpha$, więc $\sqrt{3}\,\text{tg}\,\alpha = 3\sin\alpha \neq 2\sin\alpha$. Równanie nie jest spełnione.
Wynik końcowy
$$\boxed{\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$
Odpowiedź: C
