Analizujemy ciąg $(a_n)$ dany wzorem rekurencyjnym $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$.
Krok 1: Wyznaczenie kilku początkowych wyrazów ciągu.
Obliczamy kolejne wyrazy:
- $a_1 = 2$
- $a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
- $a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$
- $a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$
Ciąg ma postać: $2, 5, 11, 23, \ldots$
Krok 2: Ocena stwierdzenia 1 — czy ciąg jest arytmetyczny?
Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, tzn. $a_{n+1} - a_n = \text{const}$ dla każdego $n$.
Sprawdzamy różnice:
$$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$
$$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$
$$a_4 - a_3 = 23 - 11 = 12$$
Różnice kolejnych wyrazów wynoszą $3, 6, 12, \ldots$ i nie są równe — rosną (każda jest dwukrotnie większa od poprzedniej). Warunek stałej różnicy nie jest spełniony.
Stwierdzenie 1 jest fałszywe.
Krok 3: Ocena stwierdzenia 2 — czy ciąg jest geometryczny?
Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały, tzn. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$ dla każdego $n$.
Sprawdzamy ilorazy:
$$\frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} = 2{,}5$$
$$\frac{a_3}{a_2} = \frac{11}{5} = 2{,}2$$
$$\frac{a_4}{a_3} = \frac{23}{11} \approx 2{,}09$$
Ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą $\frac{5}{2}, \frac{11}{5}, \frac{23}{11}, \ldots$ i nie są równe — warunek stałego ilorazu nie jest spełniony.
Stwierdzenie 2 jest fałszywe.
Krok 4: Uzupełnienie — jaki to jest ciąg?
Dla pełności można zauważyć, że rozwiązując równanie rekurencyjne $a_{n+1} = 2a_n + 1$, otrzymujemy wzór ogólny:
$$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$$
Jest to ciąg, który nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.
Wynik końcowy:
- Stwierdzenie 1 — FAŁSZ. Ciąg nie jest arytmetyczny, ponieważ różnice między kolejnymi wyrazami nie są stałe: $a_2 - a_1 = 3 \neq 6 = a_3 - a_2$.
- Stwierdzenie 2 — FAŁSZ. Ciąg nie jest geometryczny, ponieważ ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe: $\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{5}{2} \neq \dfrac{11}{5} = \dfrac{a_3}{a_2}$.
