Rozwiązanie — Zadanie 11
Analiza funkcji
Funkcja $f$ jest określona przedziałami:
- $f(x) = x + 5$ dla $x \in [-4, -2]$
- $f(x) = 3$ dla $x \in (-2, 2]$
- $f(x) = -3x + 9$ dla $x \in (2, 4)$
Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$
Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów (wartości $x$), dla których funkcja jest określona. Funkcja $f$ jest zdefiniowana na trzech przedziałach:
- $[-4, -2]$ — przedział domknięty obustronnie,
- $(-2, 2]$ — przedział otwarty z lewej, domknięty z prawej,
- $(2, 4)$ — przedział otwarty obustronnie.
Suma tych przedziałów to:
$$[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4) = [-4, 4)$$
Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału, punkty $x = 2$ należy do drugiego, natomiast $x = 4$ nie należy do żadnego. Zatem dziedzina to przedział $[-4, 4)$.
Odpowiedź 1: Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $[-4, 4)$.
Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$
Analizujemy wartości funkcji na każdej gałęzi:
- Dla $x \in [-4, -2]$: funkcja $f(x) = x + 5$ jest rosnąca, więc:
$$f(-4) = -4 + 5 = 1, \quad f(-2) = -2 + 5 = 3$$
Wartości: $[1, 3]$.
- Dla $x \in (-2, 2]$: funkcja $f(x) = 3$ (stała), wartość to $\{3\}$.
- Dla $x \in (2, 4)$: funkcja $f(x) = -3x + 9$ jest malejąca, więc:
$$f(2^+) = -3 \cdot 2 + 9 = 3 \quad \text{(nieosiągane, bo } x=2 \text{ należy do poprzedniej gałęzi)}$$
$$f(4^-) = -3 \cdot 4 + 9 = -3 \quad \text{(nieosiągane, bo } x=4 \notin \text{dziedziny)}$$
Wartości: $(-3, 3)$.
Suma zbiorów wartości:
$$[1, 3] \cup \{3\} \cup (-3, 3) = (-3, 3]$$
Zbiór $(-3, 3)$ zawiera wszystkie wartości od $-3$ (nie włącznie) do $3$ (nie włącznie), zaś $[1,3]$ domyka ten zbiór z góry w punkcie $3$. Całość to $(-3, 3]$.
Odpowiedź 2: Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.
Krok 3: Argumenty, dla których $f(x) > 0$
Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) > 0$.
- Dla $x \in [-4, -2]$: $f(x) = x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$. Ponieważ $x \geq -4 > -5$, warunek spełniony jest dla wszystkich $x \in [-4, -2]$.
- Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3 > 0$ — warunek spełniony dla całego przedziału $(-2, 2]$.
- Dla $x \in (2, 4)$: $f(x) = -3x + 9 > 0 \Rightarrow -3x > -9 \Rightarrow x \lt 3$. Zatem warunek spełniony dla $x \in (2, 3)$.
Łącząc: $[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 3) = [-4, 3)$.
Odpowiedź 3: Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $[-4, 3)$.
Krok 4: Rozwiązanie równania $f(x) = 3$
Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) = 3$.
- Dla $x \in [-4, -2]$: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$. Punkt $x = -2$ należy do $[-4, -2]$. ✓
- Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x \in (-2, 2]$. ✓
- Dla $x \in (2, 4)$: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$. Ale $x = 2 \notin (2, 4)$ — brak rozwiązania. ✗
Zbiór rozwiązań to $\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]$.
Odpowiedź 4: Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.
Podsumowanie odpowiedzi
- Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4, 4)}$.
- Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3, 3]}$.
- Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4, 3)}$.
- Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2, 2]}$.
