Zadanie 10. Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1) \lt (x+1)^2 + (x-3)^2 + 14$
-
Krok 1. Rozwinięcie lewej strony nierówności
Rozwijamy wyrażenie po lewej stronie:
$$3(2x^2+1) = 6x^2 + 3$$
-
Krok 2. Rozwinięcie prawej strony nierówności
Rozwijamy wyrażenia po prawej stronie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ oraz $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$
$$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$$
Zatem prawa strona wynosi:
$$(x+1)^2 + (x-3)^2 + 14 = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 + 14 = 2x^2 - 4x + 24$$
-
Krok 3. Zapisanie nierówności po uproszczeniu obu stron
Nierówność przyjmuje postać:
$$6x^2 + 3 \lt 2x^2 - 4x + 24$$
-
Krok 4. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę (pamiętając o zmianie znaków):
$$6x^2 + 3 - 2x^2 + 4x - 24 \lt 0$$
$$4x^2 + 4x - 21 \lt 0$$
-
Krok 5. Wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
Rozwiązujemy równanie $4x^2 + 4x - 21 = 0$, obliczając wyróżnik:
$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 16 + 336 = 352$$
$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22}$$
Miejsca zerowe:
$$x_1 = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 - \sqrt{22}}{2}$$
$$x_2 = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 + \sqrt{22}}{2}$$
-
Krok 6. Rozwiązanie nierówności kwadratowej
Trójmian $4x^2 + 4x - 21$ ma dodatni współczynnik przy $x^2$ (ramiona paraboli skierowane w górę), więc przyjmuje wartości ujemne pomiędzy pierwiastkami, czyli dla $x_1 \lt x \lt x_2$.
Nierówność $4x^2 + 4x - 21 \lt 0$ jest spełniona dla:
$$\frac{-1-\sqrt{22}}{2} \lt x \lt \frac{-1+\sqrt{22}}{2}$$
Wynik końcowy:
$$\boxed{x \in \left(\frac{-1-\sqrt{22}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{22}}{2}\right)}$$
