Rozwiązanie zadania 9
-
Krok 1: Przekształcenie lewej strony równania
Dane równanie:
$$3\cos^2 x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2 x = 0$$
Grupujemy wyrazy i korzystamy ze wzorów:
- $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$
- $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$
Wyrażenie $3\cos^2 x - 3\sin^2 x$ wyłączamy przez $3$:
$$3(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0$$
$$3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0$$
-
Krok 2: Rozwiązanie równania trygonometrycznego
Sprawdzamy, czy $\cos(2x) = 0$ jest rozwiązaniem. Gdyby $\cos(2x) = 0$, to $\sqrt{3}\sin(2x) = 0$, a więc $\sin(2x) = 0$, co jest sprzeczne (sinus i cosinus nie mogą być jednocześnie równe zero). Zatem $\cos(2x) \neq 0$ i możemy podzielić obie strony przez $\cos(2x)$:
$$3 + \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$$
$$3 + \sqrt{3}\tan(2x) = 0$$
$$\tan(2x) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$
-
Krok 3: Wyznaczenie wartości $2x$
Wiemy, że $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, zatem:
$$\tan(2x) = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
-
Krok 4: Wyznaczenie rozwiązań w przedziale $[-\pi, \pi]$
Podstawiamy kolejne wartości $k \in \mathbb{Z}$:
- $k = -2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem
- $k = -1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 0$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 3$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi}{3} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem
-
Krok 5: Weryfikacja
Sprawdzamy np. $x = \frac{\pi}{3}$: $\quad 2x = \frac{2\pi}{3}$, $\quad \tan\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ ✓
Sprawdzamy np. $x = -\frac{2\pi}{3}$: $\quad 2x = -\frac{4\pi}{3}$, $\quad \tan\!\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \tan\!\left(-\frac{4\pi}{3} + \pi\right) = \tan\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ ✓
Wynik końcowy:
Rozwiązania równania w przedziale $[-\pi, \pi]$ to:
$$\boxed{x = -\frac{2\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{6}}$$