Zadanie 5.1 Matura — Fizyka (Poziom rozszerzony) 2025 — arkusz CKE (PDF) | Matematix.pl

Zamknięte 2 pkt Prawo powszechnego ciążenia Prawa Keplera Prawo powszechnego ciążenia Prawa Keplera

📄 Treść zadania

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową. Dane: $r_P = 8{,}5$ au, $r_A = 18{,}9$ au, $a_Z = 1{,}0$ au, $T_Z = 1{,}00$ rok ziemski. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wektor przyśpieszenia Chirona jest zwrócony do środka Słońca.
Orbita Chirona ma punkt wspólny z orbitą Ziemi.
Okres obiegu Chirona dookoła Słońca jest mniejszy od okresu obiegu Ziemi dookoła Słońca.

P/P/P 1. P, 2. P, 3. P

P/P/F 1. P, 2. P, 3. F

P/F/P 1. P, 2. F, 3. P

P/F/F 1. P, 2. F, 3. F

F/P/P 1. F, 2. P, 3. P

F/P/F 1. F, 2. P, 3. F

F/F/P 1. F, 2. F, 3. P

F/F/F 1. F, 2. F, 3. F

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie – Zadanie 5.1

Analiza każdego stwierdzenia

Stwierdzenie 1: „Wektor przyspieszenia Chirona jest zwrócony do środka Słońca."

Krok 1 – Podstawa fizyczna: Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, siła grawitacyjna działająca na każde ciało orbitujące wokół Słońca jest zawsze skierowana w stronę centrum masy układu, czyli w kierunku środka Słońca. Dotyczy to zarówno orbit kołowych, jak i eliptycznych.
Krok 2 – Związek siły i przyspieszenia: Na podstawie II zasady dynamiki Newtona:
$$\vec{F} = m\vec{a}$$
Wektor przyspieszenia jest zawsze zgodny z kierunkiem i zwrotem wypadkowej siły działającej na ciało. Ponieważ siła grawitacyjna jest skierowana ku Słońcu, wektor przyspieszenia również musi być skierowany ku środkowi Słońca – niezależnie od tego, w którym miejscu orbity eliptycznej znajduje się Chiron.

Wniosek: PRAWDA (P)

Stwierdzenie 2: „Orbita Chirona ma punkt wspólny z orbitą Ziemi."

Krok 1 – Wyznaczenie parametrów orbity Chirona: Orbita Chirona jest elipsą, w której Słońce znajduje się w jednym z ognisk. Dane dotyczą odległości Chirona od Słońca w peryhelium (punkt najbliższy) i aphelium (punkt najdalszy):
$$r_P = 8{,}5 \text{ au}, \quad r_A = 18{,}9 \text{ au}$$
Krok 2 – Porównanie z orbitą Ziemi: Ziemia porusza się po orbicie kołowej o promieniu:
$$a_Z = 1{,}0 \text{ au}$$
Minimalna odległość Chirona od Słońca to $r_P = 8{,}5$ au. Oznacza to, że Chiron nigdy nie zbliża się do Słońca na odległość mniejszą niż $8{,}5$ au, natomiast orbita Ziemi leży w odległości zaledwie $1{,}0$ au od Słońca.
Krok 3 – Sprawdzenie warunku przecięcia:
$$r_P = 8{,}5 \text{ au} \gg a_Z = 1{,}0 \text{ au}$$
Cała orbita Chirona leży znacznie dalej od Słońca niż orbita Ziemi. Orbity te nie mają żadnych punktów wspólnych.

Wniosek: FAŁSZ (F)

Stwierdzenie 3: „Okres obiegu Chirona dookoła Słońca jest mniejszy od okresu obiegu Ziemi dookoła Słońca."

Krok 1 – Wyznaczenie wielkiej półosi orbity Chirona: Wielka półoś elipsy Chirona:
$$a_C = \frac{r_P + r_A}{2} = \frac{8{,}5 + 18{,}9}{2} = \frac{27{,}4}{2} = 13{,}7 \text{ au}$$
Krok 2 – Zastosowanie III prawa Keplera: Dla układu słonecznego III prawo Keplera przyjmuje postać:
$$\frac{T_C^2}{T_Z^2} = \frac{a_C^3}{a_Z^3}$$
Stąd:
$$T_C = T_Z \cdot \left(\frac{a_C}{a_Z}\right)^{3/2} = 1{,}00 \text{ rok} \cdot \left(\frac{13{,}7}{1{,}0}\right)^{3/2}$$
Krok 3 – Obliczenie okresu:
$$T_C = \left(13{,}7\right)^{3/2} \text{ lat} = 13{,}7 \cdot \sqrt{13{,}7} \approx 13{,}7 \cdot 3{,}70 \approx 50{,}7 \text{ lat}$$
Okres obiegu Chirona wynosi około 50,7 roku ziemskiego, co jest wielokrotnie większe od okresu Ziemi ($T_Z = 1{,}00$ rok).