Aby ustalić, czy w punkcie A zajdzie wzmocnienie czy osłabienie interferencyjne, należy zbadać różnicę dróg fal docierających z obu głośników.
-
Krok 1: Wyznaczenie długości fali dźwiękowej
Korzystamy ze związku między prędkością fali, jej częstotliwością a długością fali:
$$\lambda = \frac{v_p}{f}$$
Podstawiamy dane:
$$\lambda = \frac{340 \text{ m/s}}{850 \text{ Hz}} = 0{,}4 \text{ m}$$
-
Krok 2: Obliczenie różnicy dróg
Różnica dróg, jakie pokonują fale dźwiękowe od każdego z głośników do punktu A, wynosi:
$$\Delta r = r_2 - r_1 = 11{,}5 \text{ m} - 10{,}5 \text{ m} = 1{,}0 \text{ m}$$
-
Krok 3: Wyrażenie różnicy dróg w jednostkach długości fali
Sprawdzamy, ile razy długość fali $\lambda$ mieści się w różnicy dróg $\Delta r$:
$$\frac{\Delta r}{\lambda} = \frac{1{,}0 \text{ m}}{0{,}4 \text{ m}} = 2{,}5$$
Różnica dróg wynosi $2{,}5\,\lambda$, czyli $\frac{5}{2}\,\lambda$.
-
Krok 4: Zastosowanie warunków interferencji
Ponieważ głośniki emitują fale zgodnie w fazie, obowiązują następujące warunki:
- Wzmocnienie interferencyjne (konstruktywna) zachodzi, gdy różnica dróg jest całkowitą wielokrotnością długości fali:
$$\Delta r = k\,\lambda, \quad k \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$
- Osłabienie interferencyjne (destruktywna) zachodzi, gdy różnica dróg jest nieparzystą wielokrotnością połowy długości fali:
$$\Delta r = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda, \quad k \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$
Otrzymana wartość $\frac{\Delta r}{\lambda} = 2{,}5$ jest liczbą półcałkowitą (postaci $k + \frac{1}{2}$ dla $k = 2$), a zatem spełnia warunek osłabienia interferencyjnego.
Fizyczne uzasadnienie: fala z głośnika G2 przebywa o $2{,}5\,\lambda$ dłuższą drogę niż fala z G1, co oznacza, że dociera do punktu A z przesunięciem fazowym $\varphi = 2\pi \cdot 2{,}5 = 5\pi$. Przesunięcie o nieparzystą wielokrotność $\pi$ odpowiada układowi „w przeciwfazie" – fale znoszą się wzajemnie.
Odpowiedź:
W punkcie $A$ zajdzie osłabienie interferencyjne (destruktywna interferencyjna). Różnica dróg fal wynosi $\Delta r = 1{,}0 \text{ m} = 2{,}5\,\lambda$, co jest nieparzystą wielokrotnością połowy długości fali $\left(\Delta r = \left(2+\frac{1}{2}\right)\lambda\right)$. Dla głośników emitujących zgodnie w fazie oznacza to, że fale docierają do punktu $A$ w przeciwnych fazach i wzajemnie się wygaszają.