Zadanie 5.4 Matura — Fizyka (Poziom rozszerzony) 2023 — arkusz CKE z kluczem (PDF) | Matematix.pl

Jak to rozwiązać — siła grawitacji jako dośrodkowa

Krok 1. Dla ciała na orbicie kołowej siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej, a prędkość $v=\dfrac{2\pi a}{T}$:

$\dfrac{m\,v^2}{a}=\dfrac{GmM}{a^2}\;\Rightarrow\;\dfrac{(2\pi a/T)^2}{a}=\dfrac{GM}{a^2}\;\Rightarrow\;M=\dfrac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2}$

Krok 2. Wypisujemy M₁ i M₂ i dzielimy stronami (4π²/G się skraca):

$\dfrac{M_1}{M_2}=\dfrac{a_1^3/T_1^2}{a_2^3/T_2^2}=\left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3\cdot\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2$

✔ Zgodne z kluczem: M = 4π²a³/(GT²), stąd wzór docelowy.