Rozpatrujemy dwa przypadki.

Przypadek 1: $x\ge0$. Wtedy $|x|=x$, więc $|x|\ge x$ (zachodzi równość).

Przypadek 2: $x<0$. Wtedy $|x|=-x>0$, a $x<0$, więc $|x|>0>x$, czyli $|x|>x$.

Wniosek. W obu przypadkach $|x|\ge x$, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. $\quad∎$

Sprawdzenie: $x=-3$: $|-3|=3\ge-3$ ✔; $x=5$: $5\ge5$ ✔