Nierówności liniowe i wartość bezwzględna — zestaw ćwiczeniowy (LO) — zadania z rozwiązaniami

$$x>7-3 \quad\Rightarrow\quad x>4$$

Odpowiedź: B. $x>4$.

Dzielimy przez $2$ (dodatnie — znak bez zmian):

$$x\lt 5$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,5)$.

Mnożąc/dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, ODWRACAMY znak.

Odpowiedź: A. zmienia się na przeciwny.

Dzielimy przez $-3$ i ODWRACAMY znak:

$$x\le-4$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle$.

Krok 1 — porządkujemy:

$$3x-x\le7+5 \quad\Rightarrow\quad 2x\le12$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x\le6$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,6\rangle$.

Wartość bezwzględna to odległość od zera — zawsze nieujemna:

$$|-8|=8$$

Odpowiedź: C. $8$.

Liczby oddalone od zera o $5$ to $5$ i $-5$:

$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$

Odpowiedź: $x\in\{-5,5\}$.

Krok 1 — przenosimy $1$:

$$-2x\lt 6$$

Krok 2 — dzielimy przez $-2$ i ODWRACAMY znak:

$$x>-3$$

Odpowiedź: $x\in(-3,+\infty)$.

$|x|\lt a$ oznacza „bliżej zera niż $a$”:

$$-3\lt x\lt 3$$

Odpowiedź: D. $-3\lt x\lt 3$.

$|x|\ge a$ oznacza „co najmniej $a$ od zera” — po obu stronach:

$$x\le-4 \quad\text{lub}\quad x\ge4$$

$$x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)$.

$$|3-7|=|-4|=4$$

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — przenosimy $1$:

$$\frac{x}{2}>2$$

Krok 2 — mnożymy przez $2$ (dodatnie — znak bez zmian):

$$x>4$$

Odpowiedź: $x\in(4,+\infty)$.

Interpretacja: odległość $x$ od $2$ wynosi $3$:

$$x-2=3 \quad\text{lub}\quad x-2=-3$$

$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-1$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,5\}$.

Największa całkowita mniejsza od $4{,}5$ to $4$.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — usuwamy nawiasy:

$$2x-2\ge3x+3$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$2x-3x\ge3+2 \quad\Rightarrow\quad -x\ge5$$

Krok 3 — mnożymy przez $-1$ i ODWRACAMY znak:

$$x\le-5$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-5\rangle$.

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc $|x|=-2$ jest niemożliwe.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Krok 1 — wypisujemy liczby całkowite w przedziale $\langle-2,4)$: $-2,-1,0,1,2,3$.

Krok 2 — liczymy: jest ich $6$.

Uwaga: $-2$ należy (znak $\le$), a $4$ NIE należy (znak $\lt $).

Odpowiedź: $6$ liczb.

Krok 1 — zapisujemy jako podwójną nierówność:

$$-6\lt 2x-4\lt 6$$

Krok 2 — dodajemy $4$ do wszystkich części:

$$-2\lt 2x\lt 10$$

Krok 3 — dzielimy przez $2$:

$$-1\lt x\lt 5$$

Odpowiedź: $x\in(-1,5)$.

Krok 1 — nierówność. Zarobek za $x$ godzin to $25x$:

$$25x>200$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x>8$$

Krok 3 — najmniejsza pełna liczba godzin większa od $8$ to $9$.

Sprawdzenie: $25\cdot9=225>200$, a $25\cdot8=200$ nie przekracza ✔

Odpowiedź: $9$ godzin.

Rozpatrujemy dwa przypadki.

Przypadek 1: $x\ge0$. Wtedy $|x|=x$, więc $|x|\ge x$ (zachodzi równość).

Przypadek 2: $x\lt 0$. Wtedy $|x|=-x>0$, a $x\lt 0$, więc $|x|>0>x$, czyli $|x|>x$.

Wniosek. W obu przypadkach $|x|\ge x$, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. $\quad∎$

Sprawdzenie: $x=-3$: $|-3|=3\ge-3$ ✔; $x=5$: $5\ge5$ ✔